Twierdzenie Whiteheada

Twierdzenie Whiteheada – twierdzenie teorii homotopii udowodnione przez J. H. C. Whiteheada.

Słaba homotopijna równoważność ${\displaystyle f:X\to Y}$ między CW-kompleksami ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ jest homotopijną równoważnością^[1].

• Założenie, że przestrzenie ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są CW-kompleksami jest istotne. Nie każda słaba homotopijna równoważność jest homotopijną równoważnością. Przykładowo z każdym CW-kompleksem ${\displaystyle X}$ można stowarzyszyć przestrzeń Aleksandrowa ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ oraz słabą homotopijną równoważność ${\displaystyle f:X\to {\mathcal {K}}(X),}$ która jest homotopijną równoważnością tylko wtedy, gdy ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ jest homotopijnie równoważna pewnej przestrzeni dyskretnej^[2].
• Podobnie, nie wystarczy, aby CW-kompleksy ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ miały izomorficzne grupy homotopii. Musi istnieć słaba homotopijna równoważność ${\displaystyle f:X\to Y.}$ Przykładowo jeżeli ${\displaystyle X}$ jest rzeczywistą płaszczyzną rzutową ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2},}$ a ${\displaystyle Y=\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{\infty },}$ to obie przestrzenie mają grupy podstawowe izomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$ Ponadto ich wyższe grupy homotopii są izomorficzne, ponieważ ich nakrycia uniwersalne ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{\infty }}$ są homotopijnie równoważne. Jednakże ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ mają nieizomorficzne grupy homologii, więc nie mogą być homotopijnie równoważne^[3].