Twierdzenie Seiferta-van Kampena
Twierdzenie Seiferta-van Kampena w topologii algebraicznej pozwala wyrazić grupę podstawową sumy spójnej zbiorów otwartych w zależności od grup podstawowych poszczególnych składników.
Treść twierdzenia
Niech będzie łukowo spójną przestrzenią topologiczną będącą sumą zbiorów otwartych oraz takich, że gdzie jest punktem bazowym wszystkich grup podstawowych wspomnianych w twierdzeniu. Niech będą włożeniami. Wtedy grupa podstawowa sumy jest produktem wolnym grup podstawowych oraz z amalgamacją wzdłuż oraz przemienny jest diagram
gdzie odwzorowania są dla indukowane przez stosowne włożenia, zaś naturalny homomorfizm jest izomorfizmem.
Szczególne przypadki:
Jeśli wtedy co oznacza że doklejenie ściągalnej przestrzeni topologicznej powoduje że wynikowa grupa podstawowa jest grupą ilorazową z klasami równoważności danymi przez ściągalne pętle w części wspólnej i
Szczególne przypadki:
Jeśli (na przykład kiedy jest ściągalna) wtedy produkt wolny z amalgamacją upraszcza się do produktu wolnego grup podstawowych. Ten szczególny przypadek po odpowiednich przekształceniach prowadzi do twierdzenia van Kampena o bukietach.
Twierdzenie van Kampena o bukietach
Pokrewne twierdzenie, które nie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Seiferta-van Kampena (punkt nie jest zbiorem otwartym), zachodzi dla bukietów.
Niech będzie bukietem przestrzeni oraz tj. Wtedy zachodzi następujący izomorfizm grup podstawowych zaczepionych w punkcie bazowym bukietu:
Czyli grupa podstawowa bukietu jest produktem wolnym grup podstawowych składników bukietu.
Bibliografia
- Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna i topologia rozmaitości. Warszawa: PWN, 1986.
- Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
- Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999. ISBN 0-226-51183-9.