Twierdzenie Milmana-Pettisa – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że jednostajnie wypukłe przestrzenie Banacha są refleksywne[1]. Twierdzenie zostało udowodnione niezależnie przez Milmana[2] i Pettisa[3]. Inne dowody podali także Kakutani[4] oraz Ringrose[5].
Dowód Ringrose’a
Niech będzie jednostajnie wypukłą przestrzenią Banacha włożoną w sposób kanoniczny w drugą przestrzeń sprzężoną Niech będzie elementem o normie 1. Refleksywność przestrzeni oznacza, że należy do co należy wykazać.
Ponieważ kula jednostkowa przestrzeni jest domknięta w wystarczy wykazać, że dla każdego istnieje taki element że Dla niech
Ponieważ istnieje takie o normie 1, że
Niech
Wówczas jest zbiorem otwartym w sensie *-słabej topologii w Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że istnieje który należy do zbioru Wystarczy zatem wykazać, że Gdyby tak nie było, to zbiór
byłby *-słabo otwarty oraz byłby jego elementem. Z twierdzenia Goldstine’a wynikałoby, że
Niech zatem będzie dowolnym elementem tego zbioru. Z określenia Z jednostajnej wypukłości wynika zatem, że
Jednak w szczególności a zatem
Wynika stąd, że
W konsekwnecji,
Ostatecznie
co prowadzi do sprzeczności z jednostajną wypukłością [6][7].
Przypisy
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 452.
- ↑ D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), „C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S.”, 20 (1938), s. 243–246.
- ↑ B.J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, „Duke Math. J.” 5 (1939), s. 249–253.
- ↑ S. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, „Proc. Imp. Acad. Tokyo” 15 (1939), s. 169–173.
- ↑ J.R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, „J. London Math. Soc.” 34 (1959), s. 92.
- ↑ Brezis 2011 ↓, s. 77–78.
- ↑ Chidume 2009 ↓, s. 7–8.
Bibliografia
- Charles Chidume, Geometric Properties of Banach. Spaces and Nonlinear Iterations, Springer London Ltd., 2009.
- Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. Brak numerów stron w książce