od 2024-04 → napisać/poprawić definicję, od 2024-04 → dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł, definicja jest trochę niejasna; Wzór nazwany „transformata sumy” jest bardzo niejasny. Etc. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini(inne języki) i Lotfi Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.
Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).
Nieco później E. I. Jury(inne języki) wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z[1].
Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.
Definicja
Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu jest nazywana funkcja:
Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji lub nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.
Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:
Korzystając z definicji otrzymujemy:
stąd:
Przykład 2
Wyprowadź wzór na transformatę ciągu zdefiniowanego następująco:
Rozwiązanie
Zauważmy, że ciąg można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:
Zatem:
Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem Szereg jest zbieżny gdy co oznacza, że:
Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:
Przykład 3
Wyprowadź wzór na transformatę ciągu
Rozwiązanie
Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:
Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:
Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje i jest równa:
Przykład 4
Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego
Rozwiązanie
Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:
gdzie
stąd:
Obszar zbieżności jest opisany nierównością
Powiązanie z transformatą Fouriera
Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z
dla
lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.