Stała Omega

Stała Omega – stała matematyczna ${\displaystyle \Omega }$ zdefiniowana jako rozwiązanie równania:

${\displaystyle xe^{x}=1.}$

Można ją także przedstawić za pomocą funkcji W Lamberta:

${\displaystyle \Omega :=W(1).}$

Wynosi ona w przybliżeniu:

${\displaystyle \Omega =0{,}567143290409783873\dots }$ (ciąg A030178 w OEIS)

Aby obliczyć ${\displaystyle \Omega }$ z dowolną dokładnością można skorzystać ze sposobu iteracyjnego: przyjmujemy dowolną wartość dla ${\displaystyle \Omega _{0},}$ a kolejne przybliżenia liczby ${\displaystyle \Omega }$ daje prosty wzór:

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}$

Oczywiście uzyskana dokładność przybliżenia ${\displaystyle \Omega }$ zależy także od przyjętej dokładności liczby ${\displaystyle e}$.

Dowód tego, że ${\displaystyle \Omega }$ jest niewymierne, może być uzyskany bezpośrednio z faktu, że ${\displaystyle e}$ jest przestępne. Załóżmy, że ${\displaystyle \Omega }$ jest wymierne. Zatem istnieją liczby całkowite ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ takie, że:

${\displaystyle \Omega ={\frac {p}{q}}.}$

Zatem:

${\displaystyle 1={\frac {pe^{p/q}}{q}},}$

${\displaystyle e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}.}$

Zatem ${\displaystyle e}$ musiałoby być liczbą algebraiczną. Ale ponieważ ${\displaystyle e}$ jest przestępne, zatem ${\displaystyle \Omega }$ musi być niewymierne.

Przestępność stałej ${\displaystyle \Omega }$ wynika bezpośrednio z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa. Jeśli ${\displaystyle \Omega }$ byłaby liczbą algebraiczną, ${\displaystyle e^{\Omega }}$ byłoby przestępne, tak samo jak ${\displaystyle e^{-\Omega }.}$ Przeczy to przypuszczeniu, że jest ono liczbą algebraiczną (bo ${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$).

• funkcja W Lamberta