Wykres sumy harmonicznej po liczbach pierwszych do n = 2 15 , 2 16 , … , 2 46 = 7 , 04 × 10 13 {\displaystyle n=2^{15},2^{16},\dots ,2^{46}=7{,}04\times 10^{13}} i przybliżenia Mertensa. Stała Meissela-Mertensa to stała matematyczna, która wykorzystywana jest głównie w teorii liczb. Zdefiniowana jest jako granica różnicy sumy szeregu harmonicznego ograniczonego do liczb pierwszych i logarytmu naturalnego z logarytmu naturalnego:
M = lim n → ∞ ( ∑ p ⩽ n 1 p − ln ( ln ( n ) ) ) = γ + ∑ p [ ln ( 1 − 1 p ) + 1 p ] , {\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right],} gdzie γ {\displaystyle \gamma } jest stałą Eulera , której definicja jest podobna, z tą różnicą, iż suma brana jest po wszystkich liczbach naturalnych (nie tylko pierwszych).
Fakt użycia podwójnego logarytmu można traktować jako konsekwencję twierdzenia o liczbach pierwszych i definicji stałej Eulera.
Przybliżona wartość stałej wynosi:
M ≈ 0,261497212847642783755426838608695859... Stała ta bywa nazywana stałą Mertensa. W literaturze spotyka się także określenia stała Kroneckera i stała Hadamarda-de la Vallée-Poussina.
Stałe matematyczne
Najważniejsze stałe π – stosunek obwodu do średnicy koła e – podstawa logarytmu naturalnego, liczba Eulera φ – złoty podział odcinka γ – stała Eulera-Mascheroniego κ – stała Chinczyna A – stała Apéry’ego δ – pierwsza stała Feigenbauma α – druga stała Feigenbauma K – stała Catalana Inne stałe Λ – stała de Bruijna-Newmana EB – stała Erdősa-Borweina M – stała Meissela-Mertensa B 2 , B 4 – stałe Bruna B´L – stała Legendre’a K – stała Sierpińskiego C 2 – stała liczb pierwszych bliźniaczych Tematy powiązane