Rozkład chi

rozkład χ

Gęstość prawdopodobieństwa
Parametry	A, B, ν
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right)}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle A+{\frac {{\sqrt {2}}B\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}$
Mediana	nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych
Moda	${\displaystyle A+B{\sqrt {\nu -1}}}$
Wariancja	${\displaystyle B^{2}\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}$ ${\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}$

Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:

${\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}},}$

gdzie ${\displaystyle A,B,\nu }$ to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Parametr ${\displaystyle \nu }$ nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.

Dystrybuanta tego rozkładu ma postać:

${\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right).}$

Własności:

• Jeśli zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ma rozkład chi.
• Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:

skośność:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}$

kurtoza:

${\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}$

${\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}$

Specjalne przypadki:

• ${\displaystyle \nu =1}$ – rozkład półnormalny
• ${\displaystyle \nu =2,\ A=0}$ – rozkład Rayleigha
• ${\displaystyle \nu =3,\ A=0}$ – rozkład Maxwella

• rozkład chi-kwadrat
• rozkład zmiennej losowej