Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełne – równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci^[1]:

${\displaystyle P(x,y)+Q(x,y)\cdot {\frac {dy}{dx}}=0,}$

w którym ${\displaystyle P(x,y),\ Q(x,y)}$ – funkcje ciągłe w pewnym obszarze ${\displaystyle D}$ i takie, że wyrażenie ${\displaystyle P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy}$ jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze ${\displaystyle D}$ funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle F(x,y).}$

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja ${\displaystyle F(x,y),}$ że w każdym punkcie obszaru ${\displaystyle D}$ zachodzą następujące związki:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=P(x,y),\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}=Q(x,y).}$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie ${\displaystyle P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy}$ było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym ${\displaystyle D}$ jest spełnienie równości:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.}$

${\displaystyle (\cos x-x\sin x)y\,dx+(x\cos x-2y)\,dy=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=\cos x-x\sin x}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}=\cos x-x\sin x}$

Zatem ${\displaystyle {\mathcal {L}}=P,}$ czyli istnieje ${\displaystyle F(x,y)}$ taka, że:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=(\cos x-x\sin x)y,}$

(1)

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=x\cos x-2y.}$

(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

${\displaystyle F(x,y)=\int (x\cos x-2y)dy=yx\cos x-y^{2}+\phi (x).}$

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=y(\cos x-x\sin x)+\phi '(x),}$

${\displaystyle y\cos x-yx\sin x+\phi '(x)=(\cos x-x\sin x)y,}$ z równania (1)

stąd:

${\displaystyle \phi '(x)=0,}$

zatem:

${\displaystyle \phi (x)=C_{1},}$

czyli:

${\displaystyle F(x,y)=xy\cos x-y^{2}+C_{1}=C_{2}}$

i upraszczając:

${\displaystyle xy\cos x-y^{2}=C,}$ gdzie ${\displaystyle C}$ to stała.