Odległość punktu od prostej
Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.
Płaszczyzna kartezjańska
Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne a prosta k dana jest równaniem ogólnym to odległość punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:
Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów
gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.
Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez
Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego
jest wektorem – rzutem wektora na prostą. Stąd wektor
jest składową wektora prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--2-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-17].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--3-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-17].