Nierówność Muirheada

Nierówność Muirheada – uogólnienie nierówności między średnimi potęgowymi. Nierówność Muirheada została udowodniona w 1903 roku, a jej uogólnienie w 2009^[1].

Jeżeli ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$ są liczbami nieujemnymi, takimi że:

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \dots \geqslant a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \dots \geqslant b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}\geqslant b_{1}+b_{2}+\dots +b_{k}}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant k<n}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n}}$

to mówimy, że ciąg ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ majoryzuje ciąg ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ i piszemy ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\succ (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}).}$

Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ majoryzuje ciąg ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ to dla nieujemnych liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{a_{s(1)}}x_{2}^{a_{s(2)}}\dots x_{n}^{a_{s(n)}}\geqslant \sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{b_{s(1)}}x_{2}^{b_{s(2)}}\dots x_{n}^{b_{s(n)}},}$

gdzie ${\displaystyle \sum _{s\in S_{n}}}$ oznacza sumę dla wszystkich permutacji ${\displaystyle s}$ zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}$