Macierz przejścia stanu (lub krótko macierz przejścia), macierz tranzycji, macierz transformacji, macierz fundamentalna, macierz podstawowa (ang. state-transition matrix) – macierz, której iloczyn z wektorem stanu
z chwili początkowej
daje stan
w późniejszej chwili
Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest też jako eksponenta macierzy.
Rozwiązanie równań stanu
Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05777b0a56e600a1ddd9906cc16af6d3b0ab5de7)
![{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46951ba136dc55b62630a51a8d1225133757488a)
Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )\,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fd172a714bb67c0c1384b72cfa6390e15996e6)
gdzie
jest macierzą przejścia określoną poniżej.
Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor
i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.
Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:
![{\displaystyle x(t)=e^{tA}x(0)+\int _{0}^{t}{e^{(t-r)A}Bu(r)\,dr},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb23c33fe05175c7b9165cb62da99512c3127d5)
gdzie
nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych), a
składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia). W przypadku układu swobodnego postać rozwiązania sprowadza się do składowej swobodnej (tzw. rozwiązanie swobodne).
Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego
Wzór na stan
układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax+bu(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f808ceda4d5f857ae4a89dc9add1c7da5ace21)
![{\displaystyle y=cx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd637a50f2cfe151c9a1d1a10a84e90a48749d0e)
gdzie
to zadane sterowanie.
Wyznacza się go w dwóch krokach:
- Obliczane jest rozwiązanie bez części sterującej
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5071244af0fa5ef6f0a20bd67741075b201add22)
- Przekształca się powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się
oraz
a po drugiej stronie
![{\displaystyle {\frac {dx}{x}}=adt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb7630ee65672e3a8756757a179628727680716)
- Uzyskany wzór całkuje się obustronnie uzyskując:
gdzie
to stała całkowania.
- Na koniec następuje pozbycie się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania:
![{\displaystyle x(t)=Se^{at}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5339183797232e8ddbb3f018c7e77d48ea5e5072)
- Uzyskany
podstawia się do równań podanych na wstępie i oblicza pochodną
po czasie. ![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ae^{at}S+e^{at}{\frac {dS}{dt}}=ax+bu(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a9ca042f785cc08a9d872adcd243be654ec749)
![{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=bu(t)e^{-at}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eedfb1355c1059456133abd7bd502d8da9bd26)
- Przenosi się
na prawą stronę i całkuje obustronnie: ![{\displaystyle S(t)=S_{0}+\int _{0}^{t}{e^{-ra}bu(r)dr},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16e6b0933c906ed9208e73c979b1b355a57c9c2)
![{\displaystyle x(0)=S_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedee31fc95303815400cb27943fe42d32fdb13d)
- Na koniec wstawia się uzyskane
do wzoru
![{\displaystyle x(t)=e^{ta}x(0)+\int _{0}^{t}{e^{(t-r)a}bu(r)dr}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8874f4ef6d8dc5ef6affff57e64c14f4af320ae)
Macierz przejścia
Macierz przejścia
określona jest jako:
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b667934888a34e3075d5c2026b3f9cbfd000202)
gdzie
jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność:
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2b0183785c40b9bfd401415f7a8fa43c08826)
jest macierzą o wymiarach
która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z
przy danym stanie
w dowolnej chwili czasu
stan w dowolnej innej chwili
określony jest przez mapowanie:
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3b3446edc36e4dcca6a57a703ccbc3fdcf029e)
Podczas gdy macierz przejścia stanu
nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek:
i
dla każdego
i gdzie
jest macierzą jednostkową.
Ponadto
musi posiadać następujące właściwości:
1. | |
2. | |
3. | |
4. | |
Jeśli układ jest niestacjonarny, można zdefiniować
jako:
![{\displaystyle \phi (t,t_{0})=e^{A(t-t_{0})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df43501d5108c02596402641ec88dcfcec619b0b)
W przypadku niestacjonarnym, istnieje wiele różnych funkcji, które spełniają te wymagania, a rozwiązanie uzależnione jest od struktury układu. Macierz przejścia stanu musi zostać określona przed dalszą analizą rozwiązania dla układu niestacjonarnego.
Zobacz też