Macierz przejścia (automatyka)

Macierz przejścia stanu (lub krótko macierz przejścia), macierz tranzycji, macierz transformacji, macierz fundamentalna, macierz podstawowa (ang. state-transition matrix) – macierz, której iloczyn z wektorem stanu ${\displaystyle x}$ z chwili początkowej ${\displaystyle t_{0}}$ daje stan ${\displaystyle x}$ w późniejszej chwili ${\displaystyle t.}$ Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest też jako eksponenta macierzy.

Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t).}$

Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )\,d\tau ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ jest macierzą przejścia określoną poniżej.

Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\in R^{n}}$ i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

${\displaystyle x(t)=e^{tA}x(0)+\int _{0}^{t}{e^{(t-r)A}Bu(r)\,dr},}$

gdzie ${\displaystyle e^{tA}x(0)}$ nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych), a ${\displaystyle \int _{0}^{t}{e^{(t-r)A}Bu(r)\,dr}}$ składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia). W przypadku układu swobodnego postać rozwiązania sprowadza się do składowej swobodnej (tzw. rozwiązanie swobodne).

Wzór na stan ${\displaystyle x(t)}$ układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax+bu(t),}$

${\displaystyle y=cx,}$

gdzie ${\displaystyle u(t)}$ to zadane sterowanie.

Wyznacza się go w dwóch krokach:

1. Obliczane jest rozwiązanie bez części sterującej

   ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax.}$

   Przekształca się powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się ${\displaystyle dx}$ oraz ${\displaystyle x,}$ a po drugiej stronie ${\displaystyle dt}$

   ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=adt.}$

   Uzyskany wzór całkuje się obustronnie uzyskując:

   ${\displaystyle \ln {\frac {x}{S}}=at,}$ gdzie ${\displaystyle S}$ to stała całkowania.

   Na koniec następuje pozbycie się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania:

   ${\displaystyle x(t)=Se^{at}.}$

2. Uzyskany ${\displaystyle x(t)}$ podstawia się do równań podanych na wstępie i oblicza pochodną ${\displaystyle x}$ po czasie.

   ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ae^{at}S+e^{at}{\frac {dS}{dt}}=ax+bu(t),}$

   ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=bu(t)e^{-at}.}$

   Przenosi się ${\displaystyle dt}$ na prawą stronę i całkuje obustronnie:

   ${\displaystyle S(t)=S_{0}+\int _{0}^{t}{e^{-ra}bu(r)dr},}$

   ${\displaystyle x(0)=S_{0}.}$

   Na koniec wstawia się uzyskane ${\displaystyle S(t)}$ do wzoru ${\displaystyle x(t)=Se^{at}.}$

   ${\displaystyle x(t)=e^{ta}x(0)+\int _{0}^{t}{e^{(t-r)a}bu(r)dr}.}$

Macierz przejścia ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ określona jest jako:

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau ),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$

jest macierzą o wymiarach ${\displaystyle n\times n,}$ która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=0,}$ przy danym stanie ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ w dowolnej chwili czasu ${\displaystyle \tau ,}$ stan w dowolnej innej chwili ${\displaystyle t}$ określony jest przez mapowanie:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau ).}$

Podczas gdy macierz przejścia stanu ${\displaystyle \phi }$ nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (t,t_{0})}{\partial t}}=A(t)\phi (t,t_{0})}$ i

${\displaystyle \phi (\tau ,\tau )=I}$ dla każdego ${\displaystyle \tau }$ i gdzie ${\displaystyle I}$ jest macierzą jednostkową.

Ponadto ${\displaystyle \phi }$ musi posiadać następujące właściwości:

1.	${\displaystyle \phi (t_{2},t_{1})\phi (t_{1},t_{0})=\phi (t_{2},t_{0})}$
2.	${\displaystyle \phi ^{-1}(t,\tau )=\phi (\tau ,t)}$
3.	${\displaystyle \phi ^{-1}(t,\tau )\phi (t,\tau )=I}$
4.	${\displaystyle {\frac {d\phi (t,t_{0})}{dt}}=A(t)\phi (t,t_{0})}$

Jeśli układ jest niestacjonarny, można zdefiniować ${\displaystyle \phi }$ jako:

${\displaystyle \phi (t,t_{0})=e^{A(t-t_{0})}.}$

W przypadku niestacjonarnym, istnieje wiele różnych funkcji, które spełniają te wymagania, a rozwiązanie uzależnione jest od struktury układu. Macierz przejścia stanu musi zostać określona przed dalszą analizą rozwiązania dla układu niestacjonarnego.

• eksponenta macierzy
• macierz podstawowa
• macierz przejścia
• stan układu