Krzywa pogoni

Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Niech ${\displaystyle A_{0}}$ będzie punktem startowym „ściganego”, a ${\displaystyle P_{0}}$ punktem startowym „ścigającego”.

Niech punkt ${\displaystyle A}$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością ${\displaystyle v=const}$ w jakimś kierunku, a punkt ${\displaystyle P}$ z prędkością ${\displaystyle w=const}$ zawsze w kierunku punktu ${\displaystyle A.}$ Wówczas tor punktu ${\displaystyle P}$ to prosta krzywa pogoni.

Niech ${\displaystyle k={\tfrac {v}{w}}.}$

Niech ${\displaystyle A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0)}$ i ${\displaystyle A}$ porusza się wzdłuż osi ${\displaystyle Y{:}}$

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x^{(1-k)}}{(1-k)}}-{\frac {1-x^{(1+k)}}{(1+k)}}\right)}$ dla ${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)}$ dla ${\displaystyle k=1}$

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {-x}{a-y}},}$

co prowadzi do równania różniczkowego:

${\displaystyle x+x'(a-y)=0,}$

gdzie ${\displaystyle x>0.}$

Z ${\displaystyle a=vt}$ wynika:

${\displaystyle {\frac {x}{x'}}+vt=y,}$

po zróżniczkowaniu po ${\displaystyle y{:}}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {v\cdot x'^{2}}{x\cdot x''}}}$

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

${\displaystyle l=wt=k\int _{0}^{y}{\sqrt {1+(x')^{2}}}\mathrm {d} y.}$

Z ${\displaystyle \mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=w^{2}\mathrm {d} t^{2}}$ wynika, że:

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {w}{\sqrt {1+x'^{2}}}}}$

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po ${\displaystyle x{:}}$

${\displaystyle x''-k\cdot {\frac {x'^{2}}{x}}\cdot {\sqrt {1+x'^{2}}}=0.}$

Rozwiązanie po podstawieniu

${\displaystyle u=y'={\frac {1}{x'}},\quad x''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}$

prowadzi do:

${\displaystyle {\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{x}},}$

po scałkowaniu:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln x+C,}$

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z ${\displaystyle C_{1}=e^{C}}$ otrzymuje się:

${\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right].}$

Ponownie całkuje się, ze stałą ${\displaystyle C_{2}.}$ Z warunku brzegowego:

${\displaystyle \left.{\tfrac {dy}{dx}}\right|_{x=1}=0}$

wynika ${\displaystyle C_{1}=1,}$ więc z

${\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=0}$

wynika:

${\displaystyle C_{2}={\frac {k}{1-k^{2}}}}$ względnie ${\displaystyle C_{2}=-{\frac {1}{4}}}$ dla ${\displaystyle k=1,}$

czyli:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {x^{(1+k)}}{(1+k)}}-\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{(1-k)}}{(1-k)}}\\\ln {|x|}\end{matrix}}\right\}\right)+\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{1-k^{2}}}\\-{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\right\}\ {\begin{cases}k\neq 1\\k=1\end{cases}}}$

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej ${\displaystyle x(y)}$ nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz galerię związaną z tematem: Krzywa pogoni

• lista krzywych

• Applet Javy symulujący pogoń (niem.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pursuit Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).