Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Taka interpolacja daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, pozbawionych okresowości, powodują duże błędy interpolacji.
Przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku najlepszym rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.
Założeniem każdej interpolacji jest spełnienie warunków: gdzie:
Wtedy:
Dla nieparzystej ilości punktów węzłowych:
Dla parzystej ilości punktów węzłowych:
Dla obu powyższych przypadków:
Przykład
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:
Rozwiązanie
Ilość punktów interpolowanych: (parzyste)
Stopień:
Odpowiedź
Wielomian zespolony
Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:
gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że wtedy
Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].
Zobacz też
aproksymacja
interpolacja
Przypisy
↑ abInterpolacja Trygonometryczna i Szybka Transformata Fouriera. Uniwersytet Warszawski. [dostęp 2011-04-01].
↑Interpolation using Fourier Polynomials. [dostęp 2011-03-26]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-11)]. (ang.).