Indeks punktu względem krzywej

Nie mylić z: liczba obrotu homeomorfizmu okręgu w teorii układów dynamicznych.

Indeks punktu a {\displaystyle a} względem krzywej C {\displaystyle C} – liczba okrążeń punktu z {\displaystyle z} wokół punktu a , {\displaystyle a,} gdy punkt z {\displaystyle z} obiega raz krzywą C . {\displaystyle C.} Zwyczajowo każde okrążenie jest traktowane jako „dodatnie” bądź „ujemne” w zależności od tego, czy obieg odbywa się odpowiednio w kierunku przeciwnym lub zgodnym do ruchu wskazówek zegara.

Definicja

Obiekt poruszający się po krzywej okrąża osobę stojącą pośrodku dwukrotnie.

Funkcja I ( C , a ) {\displaystyle I(C,a)} dla krzywej zamkniętej C {\displaystyle C} nie przechodzącej przez punkt a , {\displaystyle a,} jest zdefiniowana jako

I ( C , a ) = 1 2 π i ∮ C d z z − a {\displaystyle I(C,a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {dz}{z-a}}}

nazywana jest indeksem punktu a {\displaystyle a} względem krzywej C . {\displaystyle C.}

Przykłady i własności

Funkcja indeksu przyjmuje tylko wartości całkowite; rośnie bądź maleje odpowiednio, gdy parametryzacja krzywej jest na danym przedziale zgodna i niezgodna z orientacją płaszczyzny zespolonej (mówi się wtedy o dodatniej i ujemnej orientacji krzywej).

Indeks punktu 0 {\displaystyle 0} względem zorientowanego dodatnio okręgu K {\displaystyle K} o promieniu r > 0 {\displaystyle r>0} ( K : z = r e i t , 0 ⩽ t ⩽ 2 k π {\displaystyle (K:z=re^{it},0\leqslant t\leqslant 2k\pi } dla k ∈ Z + ) {\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{+})} wynosi:

I ( K , 0 ) = 1 2 π i ∮ K d z z = 1 2 π i ∫ 0 2 k π i r e i t d t r e i t = 1 2 π ∫ 0 2 k π d t = k . {\displaystyle I(K,0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{K}{\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2k\pi }{\frac {ire^{it}dt}{re^{it}}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2k\pi }dt=k.}

Zobacz też

Bibliografia

  • Franciszek Leja: Funkcje zespolone. PWN, 1967.