Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego)
z wektorem (wierszowym)
tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.
![{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8cb7aabfb1135fb8c60b7aac0082e4bf0de51e)
Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.
Definicja ogólna
Jeżeli dane są:
(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej
(2) odpowiadająca jej baza
wektorów wierszowych
(3) wektory
zapisane w tych bazach
![{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=\sum _{j}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{i}^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a6c970dd798f0b2270377a2eeec7027df7ba53)
to iloczyn diadyczny
ma postać
![{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}=\sum _{i,j=1}^{n}u_{i}v_{j}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf85fc1e3b7006cc30ea553b887948a28ac2a67)
gdzie
– macierz wymiaru
której element
a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.
Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy
np.
![{\displaystyle \mathbf {E_{12}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02dc68da9740ddd0b7310bb5a69bf245626ec474)
Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego
Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie
Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=\mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3245ed107c06c452fc1ec5866f70d0d31db5124)
Przykład: Niech będą dane wektory
![{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652915abf240273b50fb8aae50eabf83a3b2c4de)
Ich iloczyn diadyczny wynosi
![{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&6&2\\0&9&3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d92382694c47f8d46747a09477bdac81a1df28)
oraz ślad macierzy wynosi
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce469b2d80c54a65745b415ba2d87c34142f7b3)
– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów
gdyż
![{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5199c9dccf5bae0a143d13d446a917f3d2acc)
Nieprzemienność iloczynu diadycznego
Przykład: Niech będą dane wektory
![{\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652915abf240273b50fb8aae50eabf83a3b2c4de)
Ich iloczyn diadyczny
wynosi
![{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}={\begin{bmatrix}0\\3\\1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\3&6&9\\1&2&3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb750966733c68046029e60b9954b261ce0ef1b)
Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny
![{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}\neq \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2f98f59c92a934848e5b9a3b37cdba877fd064)
Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.
Zobacz też
Bibliografia
- Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.