Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną)
liczb
nazywamy liczbę[1]:
![{\displaystyle \mu _{k}:={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}}{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa3a8413935757f8a5297a5729a5fc0b4304c1b)
Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.
Powyższą definicję uzupełniamy dla
oraz
w sposób następujący[1]:
![{\displaystyle \mu _{-\infty }:=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c603a239e357bcefb5d5240595416017a35553a0)
![{\displaystyle \mu _{0}:={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b1aed6dd994f529e92b29d0d063af49978f77f)
![{\displaystyle \mu _{+\infty }:=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be956133da1850083f7ef0f4d73966194fae827)
Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:
![{\displaystyle \mu _{3}={\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb97d97f89c0239fee7cb78f3ee761b5bc2eee3e)
Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich
tak zdefiniowana funkcja
zmiennej
jest ciągła i niemalejąca na zbiorze
jeśli zaś dla jakichkolwiek
i
zachodzi
jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).
Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy[1]:
Rząd | Nazwa |
–1 | średnia harmoniczna |
0 | średnia geometryczna |
1 | średnia arytmetyczna |
2 | średnia kwadratowa |
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b c średnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
Średnie
odmiany | - arytmetyczna
- arytmetyczno-geometryczna
- całkowa
- Chisinego
- geometryczna
- geometryczno-harmoniczna
- harmoniczna
- kwadratowa
- logarytmiczna
- potęgowa
- Stolarskiego
- ucinana
- ważona
- winsorowska
- wykładnicza
|
---|
nierówności | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|