Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich
i
– wspólna granica ciągów
określonych rekurencyjnie:
![{\displaystyle g_{0}=g,\quad h_{0}=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0794f37d834102ecd72c33ba39265857a7294279)
![{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}},\quad h_{n+1}={\frac {2}{{\tfrac {1}{g_{n}}}+{\tfrac {1}{h_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48937d7d738fa4c30f0949f8df91050814b32c03)
Granica ta istnieje dla dowolnych
rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia średniej arytmetyczno-geometrycznej.
Przykład
Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb
i
najpierw należy wyliczyć wartości średnich:
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\sqrt {24\cdot 6}}=12\\h_{1}&={\frac {2}{{\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{6}}}}=9{,}6\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2b71b8642d9122dffee1b1c79111325f30786a)
i dalej rekurencyjnie:
| | |
0 | 24 | 6 |
1 | 12 | 9,6 |
2 | 10,733126291999… | 10,666666666666… |
3 | 10,699844879622… | 10,699793280161… |
4 | 10,699819079861… | 10,699819079829… |
5 | 10,699819079845… | 10,699819079845… |
Własności
Przy oznaczeniach:
– średnia arytmetyczno-geometryczna liczb
i ![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
– średnia geometryczno-harmoniczna liczb
i ![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
zachodzą następujące zależności:
![{\displaystyle GHM(x,y)={\frac {1}{AGM({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5173cd2e1428e261aec71b93bbe251d0fcff8d)
![{\displaystyle GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\quad {}{\text{dla}}\;\lambda >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c490029cacd0a0aedf58cee8eb951923d6f1937)
![{\displaystyle \min(x,y)\leqslant {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leqslant GHM(x,y)\leqslant {\sqrt {xy}}\leqslant AGM(x,y)\leqslant {\frac {x+y}{2}}\leqslant \max(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134d409f62c10f049d44497fe9675dc3ad5269fa)
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic-Geometric Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).