Tonruimte

In de wiskunde, meer bepaald in de functionaalanalyse, wordt het begrip tonruimte gehanteerd als veralgemening van Fréchet-ruimten (en dus in het bijzonder van Banachruimten). Het ontleent zijn belang aan het feit dat de definitie invariant is onder de vorming van finale topologieën.^[1]

Een ton in een topologische vectorruimte ${\displaystyle E}$ is een deelverzameling ${\displaystyle T}$ die tegelijkertijd aan de volgende vier eigenschappen voldoet:^[2]

• radiaal (absorberend): ieder punt van ${\displaystyle E}$ ligt in alle voldoende grote positief reële veelvouden van ${\displaystyle T}$
• convex
• evenwichtig
• gesloten

De eigenschappen convexiteit en evenwichtigheid worden ook wel samengevat tot absolute convexiteit.

Een tonruimte is een lokaal convexe topologische vectorruimte waarin alle tonnen omgevingen van de nulvector zijn.^[3]

Dit is gelijkwaardig met de eis dat ${\displaystyle E}$ lokaal convex is en dat de familie van alle tonnen een omgevingenbasis vormt van de oorsprong. Een derde, gelijkwaardige definitie luidt: een lokaal convexe topologische vectorruimte waarop elke seminorm die halfcontinu langs onder is, meteen ook continu is.^[1]

Elke Fréchet-ruimte, en dus ook elke Banachruimte, is een tonruimte. Dit volgt uit de categoriestelling van Baire samen met de vaststelling^[1] dat elke lokaal convexe Baire-ruimte een tonruimte is.

De testfuncties voor de gewone distributietheorie (onbeperkt differentieerbare complexe functies op ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ met compacte drager) vormen een voorbeeld van een tonruimte die geen Baire-ruimte is.

Als motivering voor de definitie van tonruimten geldt de volgende algemene vorm van het principe van uniforme begrensdheid:

Zij ${\displaystyle X}$ een tonruimte en ${\displaystyle Y}$ een lokaal convexe topologische vectorruimte. Dan is iedere familie van puntsgewijs begrensde continue lineaire afbeeldingen van ${\displaystyle X}$ naar ${\displaystyle Y}$ uniform equicontinu.

Een halftonruimte is een lokaal convexe topologische vectorruimte waarin elke verzameling ${\displaystyle U\subset E}$ die aan de volgende voorwaarden voldoet, een nulomgeving is:

• ${\displaystyle U}$ absorbeert ieder begrensd deel van ${\displaystyle E}$;
• ${\displaystyle U}$ is de intersectie van een rij convexe, evenwichtige gesloten nulomgevingen van ${\displaystyle E}$.

Iedere tonruimte is een halftonruimte. Iedere bornologische ruimte is eveneens een halftonruimte.^[4]