Laplaceverdeling |
Kansdichtheid
|
Verdelingsfunctie
|
Parameters | μ plaats ( ) b > 0 schaal ( ) |
Drager | |
Kansdichtheid | |
Verdelingsfunctie | |
Verwachtingswaarde | μ |
Mediaan | μ |
Modus | μ |
Variantie | |
Scheefheid | 0 |
Kurtosis | 3 |
Entropie | |
Moment- genererende functie | |
Karakteristieke functie | |
Portaal | Wiskunde | |
In de kansrekening en de statistiek is de Laplaceverdeling een continue verdeling genoemd naar Pierre-Simon Laplace. Het is de verdeling van het verschil van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen met dezelfde exponentiële verdeling. De verdeling wordt wel dubbel exponentiële verdeling genoemd, vanwege de vorm van de kansdichtheid die bestaat uit een exponentiële dichtheid en het gespiegelde daarvan, "rug-aan-rug", met een verschuiving van de top. De term 'dubbel exponentiële verdeling, wordt echter ook wel gebruikt voor de Gumbel-verdeling.
Definitie
De Laplaceverdeling met parameters
en
is een continue kansverdeling met kansdichtheid
.
De parameter
is de plaatsparameter en de parameter
de schaalparameter.
Een stochastische variabele met deze verdeling wordt wel Laplace
-verdeeld genoemd.
Er is een zekere overeenkomst met de normale verdeling. De normale verdeling is uitgedrukt in de kwadratische afstand tot het midden, terwijl de Laplace-verdeling is uitgedrukt in de absolute afstand tot het midden.
Eigenschappen
Voor een stochastische variabele
die Laplace
-verdeeld is, geldt:
De parameter
is zowel de verwachtingswaarde, de mediaan als de modus:
![{\displaystyle {\rm {E}}(X)=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac541b7e5f8efbce9f90c126e87f3a611d179355)
Variantie
De variantie wordt bepaald door de parameter
:
![{\displaystyle {\rm {var}}(X)=b^{2}\,{\rm {var}}\left({\frac {X-\mu }{b}}\right)=b^{2}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}{\rm {d}}x=2b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d089dcf1e396d97ec81baac5eb8869a0350322e)
Kurtosis
De (exces) kurtosis van een Laplaceverdeling is gelijk aan 3.
![{\displaystyle {\rm {kurtosis}}(X)=\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {24b^{4}}{4b^{4}}}-3=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6844072ba5d812fc2a1e34a4b4d9e62545eeee9)
Immers
![{\displaystyle \mu _{4}=b^{4}{\rm {E}}\left({\frac {X-\mu }{b}}\right)^{4}=b^{4}\int _{0}^{\infty }z^{4}e^{-z}{\rm {d}}z=24b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e4014d4e06040cab442fd19e3a799a8be34849)
Momentgenererende functie
De momentgenererende functie is
![{\displaystyle =e^{\mu t}\left(\int _{-\infty }^{0}e^{ty}{\frac {1}{2b}}e^{y/b}{\rm {d}}y+\int _{0}^{\infty }e^{ty}{\frac {1}{2b}}e^{-y/b}{\rm {d}}y\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6639f0eec49d238cd43aa44e3d9ec44b021792b)
![{\displaystyle =e^{\mu t}\int _{0}^{\infty }\left(e^{-ty}+e^{ty}\right){\frac {1}{2b}}e^{-y/b}{\rm {d}}y={\frac {e^{\mu t}}{1-b^{2}t^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20301ee0d458f65334a0fe7b2fe2e0e6de914b93)
![{\displaystyle =e^{\mu t}{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left(e^{-(tb+1)z}+e^{(tb-1)z}\right){\rm {d}}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2bd19692a1f637ea96b67793990239ed03b27a)
![{\displaystyle =e^{\mu t}{\tfrac {1}{2}}\left.\left(-{\frac {e^{-(tb+1)z}}{(tb+1)}}+{\frac {e^{(tb-1)z}}{tb-1}}\right)\right|_{z=0}^{\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a140acd33a1f7749a8f5b889aed8e1ba9a4b462)
, voor ![{\displaystyle |t|<1/b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d9642b3e809475c8138142ab59cba7e94366f)
Karakteristieke functie
Die karakteristieke functie is:
![{\displaystyle =e^{i\mu s}\left(\int _{-\infty }^{0}e^{isy}{\frac {1}{2b}}e^{y/b}{\rm {d}}y+\int _{0}^{\infty }e^{isy}{\frac {1}{2b}}e^{-y/b}{\rm {d}}y\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19f6e7bd2e7184a82b82b5bc81917f84ebab9e7)
.
Entropie
De entropie (in nat) bedraagt
.
Verband met andere verdelingen
Voor een stochastische variabele
die Laplace
-verdeeld is, geldt:
is Laplace
-verdeeld..
is exponentieel verdeeld met verwachtingswaarde ![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
Als
onafhankelijk is van en gelijkverdeeld is als
, is
F-verdeeld met 2 vrijheidsgraden in de teller en 2 vrijheidsgraden in de noemer.
Voor een aselecte steekproef
uit de Laplace
-verdeling, geldt:
is chi-kwadraatverdeeld met
vrijheidsgraden.
Als
een aselecte steekproef vormen uit de N(0,1)-verdeling, is:
Laplace(0,1)-verdeeld.
Als
en
onderling onafhankelijk zijn en beide exponentieel verdeeld met
en
, is
Laplace(0,1)-verdeeld.
Als
en
onderling onafhankelijk zijn en beide uniform verdeeld op het interval (0,1), is
Laplace(0,1)-verdeeld.