Jones-veelterm
In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele
met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.
Definitie door middel van brackets
Stel wij hebben een georiënteerde schakel , die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met . Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele is met geheeltallige coëfficiënten.
Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)
- ,
waar de kronkeling van in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ( in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen (). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.
Link met Chern-Simons-theorie
Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop te berekenen, geassocieerd met , en de fundamentele representatie van .
Bronnen
- (en) Vaughan Jones, Universiteit van Californië - Berkeley, "The Jones Polynomial" (pdf), 18 augustus 2005.
- (en) MathWorld, Jones Polynomial.
- (en) Morwen Thistlethwaite, Universiteit van Tennessee, "Links with trivial Jones Polynomial" (pdf). Gearchiveerd op 27 september 2011.