Geadjugeerde matrix

Niet te verwarren met geadjungeerde matrix.

In de lineaire algebra is de geadjugeerde matrix (soms ook adjunctmatrix) van een vierkante matrix een matrix die onder andere in verband gebracht kan worden met de inverse matrix.

Definitie

Men verkrijgt de geadjugeerde van een vierkante matrix A door elk element van die matrix te vervangen door zijn cofactor en vervolgens te transponeren. In symbolen

adj(A)ji = (−1)i+j Mij = Cij

Hierin staat Mij voor de minor van het element aij van A en Cij voor de cofactor van het element aij van A.

Voorbeeld

We bepalen de geadjugeerde matrix van A.

A = ( 2 − 1 0 1 − 3 2 3 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&-3&2\\3&0&1\end{pmatrix}}}
adj ⁡ A = ( | 1 0 0 0 − 3 2 0 0 1 | | 0 1 0 1 0 2 3 0 1 | | 0 0 1 1 − 3 0 3 0 0 | | 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 | | 2 0 0 0 1 0 3 0 1 | | 2 − 1 0 0 0 1 3 0 0 | | 0 − 1 0 0 − 3 2 1 0 0 | | 2 0 0 1 0 2 0 1 0 | | 2 − 1 0 1 − 3 0 0 0 1 | ) T = ( − 3 5 9 1 2 − 3 − 2 − 4 − 5 ) T = ( − 3 1 − 2 5 2 − 4 9 − 3 − 5 ) {\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-3&2\\0&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&2\\3&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&-3&0\\3&0&0\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&-1&0\\0&0&1\\3&0&0\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&-1&0\\0&-3&2\\1&0&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&0&0\\1&0&2\\0&1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&-1&0\\1&-3&0\\0&0&1\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&5&9\\1&2&-3\\-2&-4&-5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&1&-2\\5&2&-4\\9&-3&-5\end{pmatrix}}}

Eigenschappen

  • adj(A) A = A adj(A) = det(A) In
  • adj(AB) = adj(B) adj(A)
  • adj(AT) = (adj(A))T
  • det(adj(A)) = det(A)n−1

Toepassing

De geadjugeerde kan gebruikt worden om de inverse matrix te bepalen, indien deze bestaat.

Uit de eerste eigenschap kunnen we namelijk volgend resultaat bekomen:

A − 1 = det ( A ) − 1 adj ⁡ ( A ) = 1 det ( A ) adj ⁡ ( A ) {\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}\operatorname {adj} \left(A\right)={\frac {1}{\det \left(A\right)}}\operatorname {adj} \left(A\right)} .

Merk op dat dit inderdaad enkel mogelijk is voor det(A) ≠ 0, dus voor inverteerbare matrices. Daarnaast, merk op dat 1 det ( A ) adj ⁡ ( A ) {\displaystyle {\tfrac {1}{\det \left(A\right)}}\operatorname {adj} \left(A\right)} niet geschreven mag worden als adj ⁡ ( A ) det ( A ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {adj} \left(A\right)}{\det \left(A\right)}}} , aangezien een matrix strikt genomen niet deelbaar is door een scalair.