In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices
(over het lichaam (Ned) / Veld (Be)
) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix
bestaat zodanig dat
,
waarin
de getransponeerde aanduidt van
.
Verband met bilineaire vorm
Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.
Bewijs
Stel dat
en
congruente
-matrices zijn over een lichaam/veld
. Kies als basis de eenheidsvectoren
in
en definieer de bilineaire vorm
door:
![{\displaystyle \alpha (e_{i},e_{j})=A_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dea0fd0ea2166154c645ecad1b41a823326095)
Dan is voor
![{\displaystyle \alpha (x,y)=x^{\text{T}}\!\!Ay}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90b7e9a7544fdc836bdf5d6b747e474a7eb35b8)
De vectoren
vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:
![{\displaystyle \beta (f_{i},f_{j})=B_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29722f01eab10e99350bc22298275ddbf91d7e26)
geldt:
![{\displaystyle \alpha (f_{i},f_{j})=f_{i}^{\text{T}}Af_{j}=(Pe_{i})^{\text{T}}A(Pe_{j})=e_{i}^{\text{T}}P^{\text{T}}\!\!APe_{j}=e_{i}^{\text{T}}Be_{j}=B_{ij}=\beta (f_{i},f_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757eb8e054fca2851b10ed9e59c83aa2a13b71f4)
dus
.
Stel omgekeerd dat de matrices
en
beide de bilineaire vorm
representeren. Dan zijn er bases
en
, zodat:
![{\displaystyle \lambda (x,y)=x_{e}^{\text{T}}\!Ay_{e}=x_{f}^{\text{T}}\!By_{f}=(Px_{f})^{\text{T}}\!A(Py_{f})=x_{f}^{\text{T}}\!P^{\text{T}}\!\!APy_{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab38127da40c7a8e75044e6ee9428a5498ca6b37)
waarin
de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van
en
ten opzichte van de bases
en
, en
de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:
,
dus zijn
en
congruent.
Equivalentierelatie
Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want:
- (Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem
de eenheidsmatrix. - (Symmetrie) Als
congruent is met
, is ook
congruent met
, want
is inverteerbaar, dus
![{\displaystyle A=(P^{-1})^{\text{T}}\!BP^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5c86e4bb6790bf001277863dfc4b01260c680f)
- (Transitiviteit) Als
congruent is met
en
congruent met
, geldt dat er inverteerbare matrices
en
bestaan zodat
![{\displaystyle A=P^{\text{T}}\!BP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d552c2897e2c1933caca004b5d67171ef8fc5b69)
- en
,
- Hieruit volgt dat
,
- en, omdat met
en
ook
inverteerbaar is, is
dus congruent met
.
Zie ook
- Gelijksoortige matrices
- Equivalente matrices