Alfa-stabiele verdeling
In de kansrekening vormen de α-stabiele verdelingen een familie van continue verdelingen van stochastische variabelen die gekenmerkt worden door de volgende eigenschap. Laat onderling onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen zijn. Voor alle is er een , zo, dat
Aangetoond kan worden dat de enige mogelijkheid voor is: met . Het reële getal wordt de vormparameter genoemd.
De theorie van de stabiele verdelingen is in belangrijke mate beïnvloed door Paul Lévy.
Voorbeelden
Hoewel de stabiele verdelingen voor elke welgedefinieerd zijn, is de dichtheid slechts voor enkele specifieke waarden van expliciet gegeven.
- De normale verdeling met verwachtingswaarde 0 is stabiel met vormparameter , want voor onderling onfhankelijke geldt:
- .
- De normale verdeling is overigens de enige stabiele verdeling met vormparameter .
- Als de onderling onfhankelijke alle standaard-cauchyverdeeld zijn, geldt
- De standaard-cauchyverdeling is dus stabiel met vormparameter .
- De standaard-lévyverdeling is stabiel met .
Literatuur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 2e druk. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Hfdst. 16.