線型無関連

数学において、体 k のある拡大体 ${\displaystyle \Omega }$ （例えば万有体（英語版））の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる：

• (i) ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ から誘導される写像 ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to AB}$ は単射である。
• (ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。
• (iii) ${\displaystyle u_{i},v_{j}}$ が A, B の k-基底であれば、積 ${\displaystyle u_{i}v_{j}}$ は k 上線型独立である。

${\displaystyle \Omega }$ のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$ は整域（特に被約）であることに注意する。

また次が成り立つ： A, B が k 上線型無関連であることと ${\displaystyle A,B}$ によってそれぞれ生成される ${\displaystyle \Omega }$ の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。（cf. 体のテンソル積）

A, B が k 上線型無関連とする。${\displaystyle A'\subset A}$, ${\displaystyle B'\subset B}$ が部分代数であれば、${\displaystyle A'}$ と ${\displaystyle B'}$ は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。

• 体のテンソル積

• P.M. Cohn (2003). Basic algebra