根二乗平均速度(こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed)とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v 2 の統計集団平均
の平方根
である。 ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。
![{\displaystyle v=|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d041514aae1329419b8bcc39c5a4c23078ad2d77)
根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。
速度の分散
は速度の平均
と速度の二乗平均
を用いて以下のように書き表すことができる。
![{\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}=\langle v^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {v}}\rangle \cdot \langle {\boldsymbol {v}}\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c3cb6259dd94daa2dd124e74d10ac29d3bbe81)
もしも速度の平均
が 0 ならば、二乗平均
は分散と一致する。 このとき根二乗平均速度
は速度のゆらぎの大きさ
に等しい。
![{\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=|\sigma ({\boldsymbol {v}})|\quad (\langle {\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {0}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b55329d33e09519c4a84f910bc9a3a4944199ab)
従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。
例
気体分子運動論
気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。
![{\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e5b46a38a704b5aee376264cb0e2d05648e21a)
ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。 ボルツマン定数 k B ≈ 1.381 × 10-23 J/K とアヴォガドロ定数 N A ≈ 6.022 × 1023 /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、
![{\displaystyle R=k_{\mathrm {B} }N_{\mathrm {A} },\quad M=mN_{\mathrm {A} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ebd055dc689204e04a5878716de98b67026482)
という関係が成り立つので、以下のように書き直される。
![{\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586263181fa023d591876004d296f17e2ea9a1c3)
この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。
![{\displaystyle \langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675cd2762b823ab19f1ed59498cbe778153435da)
導出
単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。
![{\displaystyle U(T)={3 \over 2}nRT\,.~~\cdots ~~(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f0dfd88cf31503c547ee4f836c9ff86787bc45)
ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N A なので、
![{\displaystyle U(T)={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T~~\cdots ~~(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee68464f54d0485f176728596941ab6539e2a3c9)
となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。
![{\displaystyle U(T)=N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle \,.~~\cdots ~~(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4b5b11c4935f202b68d187216876f1e077d8ea)
(2), (3) の右辺同士を比較すれば、
![{\displaystyle N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5dec049de4075bd91185ec3037fbb12e3a250c)
より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。
![{\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.~~\cdots ~~(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7494adf362691d80ee26e6f2ff3723f18c5cd09b)
脚注
注釈
出典
関連項目