| この項目では、特殊関数であるベータ関数について説明しています。場の量子論であつかうベータ関数については「ベータ関数 (物理学)」をご覧ください。 |
数学におけるベータ関数(ベータかんすう、英: beta function)とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる(なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる)。
一般化された関数として、セルバーグ積分がある。
定義
, を満たす複素数 , に対して、ベータ関数は次式で定義される:
性質
対称性
ベータ関数は次のような対称性を持つ。
証明
置換積分による計算を行う。 とおくと、 であり、また積分区間は から へと変化するから、
したがって、 が示された。
関数等式
ベータ関数は次の関係式を満たす。
積分表示
変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は 、 である。
ポッホハマーの表示
のリーマン面上の積分路として、実軸上の 内の点から出発し、 を正の向きに、 を正の向きに、 を負の向きに、 を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路(英語版)を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。
ガンマ関数との関係
ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。
級数表示
ただし、 は下降階乗冪:
である。
無限乗積表示
評価
スターリングの公式より、複素数、 の実部が十分大きな正の値であるとき、
一方、 が十分大きく が固定されているとき、
特殊値
複素数 に対して、以下が成り立つ。
特に、
非負の整数 、 に対して、以下が成り立つ。
参考文献
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.
関連項目
外部リンク
- 『ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語
- 『ベータ関数』 - コトバンク
- ベータ関数とは? ~ 性質と公式 ~ - 数理アラカルト
- ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~ - 数学の景色
- ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
- Weisstein, Eric W. "Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).
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- 三角函数置換(英語版)
- 部分分数分解を通じた積分(英語版)
- 漸化式による積分
- 媒介変数微分を用いた積分(英語版)
- オイラーの公式を用いた積分(英語版)
- 積分記号下の微分(英語版)
- 複素線積分
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