フィロー線

幾何学において、フィロー線（フィローせん、ヒーローせん^[1]、英: Philo line）または、フィロン線（Philon line）は、ある角とその内側にある点に対して定義される、その点を通り、角を成す2直線上に端点をもつ最短線分である^[2][3][4]。フィローの線とも書かれる^[5]。発明家のビザンチウムのフィロンに因んで名付けられた^[6]。フィロンはこの線分を立方体倍積問題の解決に用いた^[7][8]。フィロー線は定規とコンパスによる作図ができない^[7][9]。

フィロー線は頂角を通る垂線によって幾何学的な定義ができる。点${\displaystyle P}$と${\displaystyle \angle DOE}$のフィロー線を${\displaystyle DE}$とする。ただし${\displaystyle D,E\neq O}$。また${\displaystyle DE}$と、${\displaystyle DE}$の頂角${\displaystyle O}$を通る垂線との交点を${\displaystyle Q}$とする。このとき${\displaystyle DP=EQ,EP=DQ}$となる^[7]。

逆に${\displaystyle P}$と${\displaystyle Q}$が、線分${\displaystyle DE}$の端点との距離が等しく、頂角${\displaystyle O}$を通る${\displaystyle DE}$の垂線が${\displaystyle Q}$を通れば、この線分${\displaystyle DE}$は点${\displaystyle P}$と${\displaystyle \angle DOE}$のフィロー線である^[7]。

頂角${\displaystyle O}$に対するそれぞれ端点${\displaystyle D,E}$の方向と${\displaystyle P}$の位置を適切に固定することで、以下のように代数的手法によって、フィロー線を得られる。

${\displaystyle O}$を原点とする直交座標系を描く。${\displaystyle E}$を${\displaystyle x}$軸、${\displaystyle D}$を${\displaystyle y{=}mx\ (m\neq 0)}$上にある点とする。${\displaystyle m}$は${\displaystyle \angle DOE}$の正接となる。${\displaystyle \angle DOE}$内の点${\displaystyle P}$の座標を${\displaystyle (P_{x},P_{y})}$として、${\displaystyle E=(E_{x},0)}$と${\displaystyle D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})}$の座標を得る事を目標とする。

傾き${\displaystyle \alpha \neq 0}$を持つ直線が${\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})}$を通るとき、その直線の方程式は

${\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.}$

である。この直線と${\displaystyle x}$軸の交点は

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=0}$

を解けばよく、${\displaystyle E}$の座標は

${\displaystyle (E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).}$

となる。${\displaystyle \alpha \neq m}$として、先の直線と${\displaystyle y=mx}$の交点は

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx}$

を解くことで

${\displaystyle (D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).}$

とわかる。${\displaystyle D,E}$のユークリッド距離の自乗は次の式により求めることができる。

${\displaystyle ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}.}$

${\displaystyle \alpha }$が負の範囲で長さが最小の時、${\displaystyle DE}$はフィロー線となる。

導関数${\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}$となるような${\displaystyle \alpha }$は最小値の候補となる。

${\displaystyle -2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.}$

整理して、

${\displaystyle (mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0}$

この式は、${\displaystyle P}$を通る直線束の中で最短の線分の傾きを決定する。ただし、全体の最小値は${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$の場合であり、これは${\displaystyle y=mx}$と${\displaystyle x}$軸の交点${\displaystyle (0,0)}$を通ってしまうため不適である。${\displaystyle -\alpha }$は${\displaystyle \angle OED}$の正接となる。

${\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}$を代入すれば${\displaystyle E_{x}}$は三次多項式

${\displaystyle mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).}$

の根となる。したがってこの三次方程式を解くことはフィロー線と${\displaystyle x}$軸の交点を見つけることと等しい。1837年のピエール・ヴァンツェルの発見によれば、非自明な三次方程式の根は定規とコンパスによる作図ができないため、フィロー線も作図することはできない。

また方程式の解を次式に代入すれば、フィロー線の長さを得る。

${\displaystyle d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.}$

${\displaystyle OQ}$は${\displaystyle ED}$の垂線であるから、その傾きは${\displaystyle -1/\alpha }$である。したがって${\displaystyle OQ}$の方程式は${\displaystyle y=-x/\alpha }$である。${\displaystyle Q=(Q_{x},Q_{y})}$とおいて、フィロー線${\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}}$との交点は${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=-x/\alpha }$を解くことによって得られ、

${\displaystyle Q_{x}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})\alpha }{1+\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle Q_{y}=-Q_{x}/\alpha ={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{1+\alpha ^{2}}}}$

となる。また、${\displaystyle D(D_{x},D_{y})}$と${\displaystyle Q}$の距離の自乗は

${\displaystyle DQ^{2}=(D_{x}-Q_{x})^{2}+(D_{y}-Q_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha m)^{2}}{(1+\alpha ^{2})(\alpha -m)^{2}}}}$.

で、${\displaystyle E}$と${\displaystyle P}$の距離の自乗は

${\displaystyle EP^{2}\equiv (E_{x}-P_{x})^{2}+(E_{y}-P_{y})^{2}={\frac {P_{y}^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}}$.

で表される。差を取って

${\displaystyle DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}}$.

${\displaystyle \alpha }$に関する上記の三次方程式より、この式の表す値は0になり${\displaystyle DQ=PE}$が示される。

${\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})\quad (P_{x},P_{y}>0)}$を通る直線束の傾き${\displaystyle \alpha }$の直線は、上の式によって表すことができた。${\displaystyle \angle DOE}$が直角であるとき、${\displaystyle m\to \infty }$とすればよく、${\displaystyle DO}$は${\displaystyle y}$軸と一致する。

${\displaystyle y}$軸と傾き${\displaystyle \alpha }$の直線の交点の${\displaystyle y}$座標

${\displaystyle \alpha (-P_{x})+P_{y}}$

である。したがって、交点${\displaystyle D}$の座標は

${\displaystyle (D_{x},D_{y})=(0,P_{y}-\alpha P_{x}).}$

となる。${\displaystyle D,E}$のユークリッド距離の自乗は次の式により求めることができる。

${\displaystyle d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}.}$

${\displaystyle \alpha }$が負の範囲で長さが最小の時、${\displaystyle DE}$はフィロー線となる。導関数${\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}$となるような${\displaystyle \alpha }$は

${\displaystyle 2{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})(P_{x}\alpha ^{3}+P_{y})}{\alpha ^{3}}}=0}$

を解くことで得られる。${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$は不適であることに注意して、解は

${\displaystyle \alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}}$

である。したがってフィロー線の長さは

${\displaystyle d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.}$

${\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}$とおいて、方程式を解けば${\displaystyle E}$の${\displaystyle x}$座標を得る。

${\displaystyle E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.}$

${\displaystyle OQ}$が垂線であるから、三角関数を用いて、辺の長さを次のように表せる。ここで、${\displaystyle \angle POQ=\varphi ,\angle DOE=\theta _{b},\angle DOQ=\theta _{c},OQ=h,OP=a}$とする。

${\displaystyle DQ=h\tan(\theta _{c}-\varphi )}$

${\displaystyle QE=h\tan(\theta _{b}+\varphi )}$

${\displaystyle PQ=h\tan(\varphi )}$

${\displaystyle EP=h\tan(\theta _{b}+\varphi )-h\tan(\varphi )}$

${\displaystyle h=a\cos(\varphi )}$

これらより

${\displaystyle DE=L(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}$

を得る。次に${\displaystyle L(\varphi )}$の導関数を求める。

${\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(-\tan ^{2}(\theta _{c}-\varphi )+\tan ^{2}(\theta _{b}+\varphi )\right)-a\sin(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}$

${\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)}$

${\displaystyle L'(\varphi )=L(\varphi )\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)={\frac {1}{h}}L(\varphi )(PE-QD)}$

${\displaystyle DE,h>0}$であるから、導関数の値が0になるときは、${\displaystyle PE=QD}$となるとき。したがって、上記のフィロー線の性質が証明された。

フィロー線は立方体倍積問題の解決に用いられる。立方体倍積問題は2の立方根が作図可能かという問題に帰着しする。これがフィロー線を定義したフィロンの目的であった^[10]。${\displaystyle PQ:QR=1:2}$となる長方形${\displaystyle PQRS}$を作る。 ${\displaystyle TU}$を${\displaystyle \angle QRS}$と点${\displaystyle P}$のフィロー線とする。 ${\displaystyle V}$を${\displaystyle R}$を通るフィロー線${\displaystyle TU}$の垂線の足とすれば、三角形${\displaystyle RVP}$は${\displaystyle RP}$を直径とする円（長方形${\displaystyle PQRS}$の外接円）に内接する。

${\displaystyle W}$を${\displaystyle V}$を通る直線${\displaystyle QR}$の垂線の足として、長方形とフィロー線の性質、三角形と比の定理から${\displaystyle RS=PQ}$, ${\displaystyle RW=QU}$, ${\displaystyle WU=RQ}$が従う。また、直角三角形${\displaystyle PQU}$,${\displaystyle RWV}$,${\displaystyle VWU}$は相似である。これらを用いることによって ${\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}$ が分かる。

特に${\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}$に注目する。${\displaystyle PQ:QR=1:2}$よりこれらの比が${\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}$であることが分かる^[11]。同様にして、一般に${\displaystyle PQ:QR=a:b}$のときこれらの比率は${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}:{\sqrt[{3}]{b}}}$となることが分かる。

立方体倍積問題が定規とコンパスによる作図では不可能であることから、フィロー線の作図不可能性が証明された^[7][9]。

${\displaystyle R=(0,0)}$、${\displaystyle Q,S}$をそれぞれ正の${\displaystyle x,y}$軸上の点とすると、${\displaystyle V,P}$の座標はそれぞれ${\displaystyle ({\sqrt[{3}]{a^{2}b}},{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}),({\sqrt[{3}]{ab^{2}}},{\sqrt[{3}]{a^{2}b}})}$となる。つまり、${\displaystyle V,P}$は長方形の外接円と双曲線${\displaystyle xy=ab}$の第一象限上の交点である。紐などを用いて円錐曲線を描くことができる場合は、これと同様にしてフィロー線を得られる。

三角形${\displaystyle OED}$の面積の最小問題は以下の様に解決される。

${\displaystyle D,E}$の座標をそれぞれ ${\displaystyle (D_{x},D_{y}),(E_{x},E_{y})}$とする。${\displaystyle \triangle OED}$の面積は次の式で表すことができる。

${\displaystyle A=D_{y}E_{x}/2={\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}}{2\alpha (\alpha -m)}}}$.

${\displaystyle \partial A/\partial \alpha =0}$となるような${\displaystyle \alpha }$を見つけることによって、面積は最小化される。

${\displaystyle -{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0}$.

${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$は不適であるから、もう一方の解

${\displaystyle \alpha =-{\frac {mP_{y}}{mP_{x}-2P_{y}}}}$

を採用し、面積の最小値を得る。

${\displaystyle A={\frac {2P_{y}(mP_{x}-P_{y})}{m}}}$.

• 等長共役

1. ^ 藤田外次郎『新撰数学講義 下巻』博文館、1904年、215頁。doi:10.11501/826286。 
2. ^ ウジェーヌ・ルーシェ,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 編『初等幾何学 第1巻 平面之部』山海堂、1913年。doi:10.11501/930885。 
3. ^ 林鶴一『初等幾何学極大極小問題』大倉書店、1910年、111頁。doi:10.11501/828606。 
4. ^ ジョン・ケージー（英語版） 著、山下安太郎, 高橋三蔵 訳『幾何学続編』有朋堂、1909年。doi:10.11501/828521。 
5. ^ 長沢亀之助『問題解法幾何学辞典』長沢亀之助、1912年、487頁。doi:10.11501/925384。 
6. ^ “Mécanique et mathématiques à Alexandrie : le cas de Héron”. Bernard Vitrac. 2024年7月27日閲覧。
7. ^ ^{a b c d e} Howard Eves (1965). “A Survey of Geometry”. Allyn and Bacon (vol2). 
8. ^ Wells, David (1911). “Philo's line”. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry.: 182–183. 
9. ^ ^{a b} Kimberling, Clark (2003). Geometry in action: a discovery approach using the Geometer's Sketchpad. Emeryville, CA: Key College Pub. ISBN 978-1-931914-02-4 
10. ^ Les plus grands scientifiques du bassin méditerranéen, Philon de Byzance
11. ^ Coxeter, H. S. M.; van de Craats, Jan (1993-11). “Philon lines in non-Euclidean planes”. Journal of Geometry 48 (1-2): 26–55. doi:10.1007/bf01226799. ISSN 0047-2468. http://dx.doi.org/10.1007/bf01226799. 

• Weisstein, Eric W. "Philo Line". mathworld.wolfram.com (英語).