ケンプナー関数
数論において、ケンプナー関数(けんぷなーかんすう、英: Kempner function) [1] は正整数について定義される関数である[2][3]。
定義
階乗 をが割り切るときの最小値を与える関数である。例えばならば、はで割り切ることはできないが、で割り切ることができる。つまり.である。他の言い方をすればがの約数となる最小の整数を与える関数である。
この関数は、素数においては一次関数的に成長し、階乗数では対数関数的成長を見せる、一貫性のない成長率(英語版)をもつ。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | |
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0,1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 7 | 4 | 6 | 5 | 11 | 4 | 13 | 7 | 5 | 6 | 17 | 6 | 19 | 5 | 7 | 11 | 23 | 4 | 10 | 13 | 9 | 7 |
歴史
ケンプナー関数は、1883年、リュカによって初めて言及された[4]。その後は、1887年のヨーゼフ・ノイベルグのジャーナルMathesisにも見られた[5]。1918年、オーブリー・J・ケンプナー(英語版) が最初に正しい計算アルゴリズムを与えた[1]。またケンプナーはとしている。
1980年にスマランダチェが再発見し研究したことからスマランダチェ関数(Smarandache function)とも呼ばれる[1][6][7][8]。
性質
はを約数に持つため、は常に以下である。 が素数か4であることとが成り立つことは同値である[1]。つまりができるだけ大きくなるときは素数である。逆に、できるだけ小さくする場合はを階乗数にすればよい(について となる)。
は係数が整数である、出力された整数値がすべてで割り切れるモニック多項式の最小次数となる。例えばについて、以下の三次関数が出力する整数値は6で割り切れる(6を法として0である)。しかし二次または一次のモニック多項式で、その出力された整数値が常に6で割り切れるものは存在しない。
ほとんどすべての整数(漸近密度(英語版)が0という意味)で、がの最大の素因数と一致する事がエルデシュによって指摘された[9]。この問題は1911年にThe American Mathematical Monthly(英語版)で発表され1994年に解決された。
Tutescuはと予想している[10]。
4以上の整数について、素数計数関数とガウス記号とケンプナー関数について以下の式が成り立つ。
計算複雑さ
任意の整数のケンプナー関数は、の素因数の素数冪 の中で、の最大値である。が自身であるとき、そのケンプナー関数は、の倍数の中でその階乗の約数がの十分な倍数を持つものを見つける、という手順程度の計算時間量(英語版) で見つけられる。 同様のアルゴリズムを任意のに拡張すると、のそれぞれ素因数で、と同様の手順を行い、最も大きい値がの値となる。
素数とより小さいで、と表せるときはである。したがって、半素数のケンプナー関数の計算は、その素因数分解と同等の難しさであることを示唆している。より一般的に、が合成数ならば、を繰り返し評価してが素因数分解できたとしても、との最大公約数は非自明である。ゆえに、ケンプナー関数の計算は一般的に、素因数分解より簡単でない。
級数
ケンプナー関数に関する級数には以下のようなものがある[11][12][13][14][15]。総じてスマランダチェ定数(ドイツ語版)と呼ばれる。
(無理数であることが知られている)
類似物
Pseudosmarandache Function
Pseudosmarandache Functionは、番目の三角数がを割り切るとき、最小のを出力する関数である[16][17]。以下のような性質を持つ。
Smarandache-double factorial Function
Smarandache-double factorial Functionは(二重階乗)がを割り切るとき、最小のを出力する関数である[18]。
Smarandache Near-to-Primorial Function
Smarandache Near-to-Primorial Functionは、(素数階乗)またはのいずれかがを割り切るとき、最小のを出力する関数である[19]。
スマランダチェ-ワグスタッフ関数
スマランダチェ-ワグスタッフ関数(Smarandache-Wagstaff Function)は1から番目までの階乗数の和がを割り切るとき、最小のを出力する関数である[20]。0から番目までとしたものはスマランダチェ-クレパ関数(Smarandache-Kurepa Function)と呼ばれる[21]。
Smarandache Ceil Function
Smarandache Ceil Functionは、がを割り切る最小の整数を出力する関数である[22]。では、である。
の解の個数をとしてとしても表される。
関連項目
- ケンプナー級数(英語版)
- アンドリカの予想
出典
- ^ a b c d Called the Kempner numbers in the Online Encyclopedia of Integer Sequences: see Sloane, N.J.A. (ed.). "OEIS (home page)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “Polynomial analogue of the Kempner function”. arXiv. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “A Faster Algorithm For Testing Polynomial Representability Of Functions Over Finite Integer Rings”. arXiv. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Lucas, E. (1883). “Question Nr. 288”. Mathesis 3: 232.
- ^ Neuberg, J. (1887). “Solutions de questions proposées, Question Nr. 288”. Mathesis 7: 68–69.
- ^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “Properties and Problems related to Smarandache Type Functions”. arXiv. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “SMARANDACHE FUNCTION”. R. Muller. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Erdős, Paul; Kastanas, Ilias (1994). “The smallest factorial that is a multiple of n (solution to problem 6674)”. The American Mathematical Monthly 101: 179. doi:10.2307/2324376. JSTOR 2324376. http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Erdos_P._Kastanas_I.The_smallest_factorial...-.pdf. .
- ^ I. Prodanescu, L. Tuțescu (2000). On A Conjecture Concerning The Smarandache Function. http://archive.org/details/conjecture-sf
- ^ I.Cojocaru and S. Cojocaru (1996). “The First Constant of Smarandache”. Smarandache notions journal (vol 7). https://fs.unm.edu/SNJ7.pdf.
- ^ E. Burton (1995). “On Some Series Involving the Smarandache Function”. Smarandache Function Journal vol 6. https://fs.unm.edu/SFJ6.pdf.
- ^ “A048799 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “A048834 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “A048835 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Pseudosmarandache Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “A011772 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
- ^ “A007922 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache Near-to-Primorial Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache-Wagstaff Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache-Kurepa Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache Ceil Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
参考文献
- Kenichiro Kashihara COMMENTS AND TOPICS ON SMARANDACEE NOTIONS AND PROBLEMS
- SMARANDACHE NOTIONS JOURNAL vol7,vol8,vol9,vol10,vol11,vol12,vol13
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