Spazio di Hardy

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In analisi complessa uno spazio di Hardy è l'analogo dello spazio ${\displaystyle L^{p}}$ in analisi funzionale. Il suo nome deriva da G. H. Hardy.

Per esempio, per gli spazi delle funzioni olomorfe sul disco unitario aperto, lo spazio di Hardy ${\displaystyle H^{2}}$ è formato dalle funzioni ${\displaystyle f}$ la cui radice della media quadrata sul cerchio di raggio ${\displaystyle r}$ rimane finita quando ${\displaystyle r}$ tende a ${\displaystyle 1}$ da sinistra.

Più generalmente, lo spazio di Hardy ${\displaystyle H^{p}}$ con ${\displaystyle 0<p<\infty }$ è la classe delle funzioni olomorfe sul disco unitario aperto che soddisfano

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[f(re^{i\theta })\right]^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

La quantità del membro di sinistra della disequazione precedente è la p-norma sullo spazio di Hardy di ${\displaystyle f}$, denotata con ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}}$.

Per ${\displaystyle 0<p<q<\infty }$ si può dimostrare che ${\displaystyle H^{q}}$ è un sottospazio di ${\displaystyle H^{p}}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Hardy, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio di Hardy, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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