Serie di Kempner

La serie di Kempner è una variante della serie armonica, costruita omettendo tutti i termini il cui denominatore contiene la cifra ${\displaystyle 9}$ espressa in base decimale. Cioè, è la somma

${\displaystyle {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}}$

dove l'apice indica che ${\displaystyle n}$ assume solo i valori la cui espansione decimale non contiene dei ${\displaystyle 9}$. La serie fu per la prima volta studiata da A. J. Kempner nel 1914.^[1] La serie è interessante a causa del risultato controintuitivo che, a differenza della serie armonica, la serie di Kempner converge. Kempner mostrò che il valore di questa serie è minore di ${\displaystyle 80}$. Baillie^[2] dimostrò che, arrotondata alla 20ª cifra decimale, la somma reale è ${\displaystyle 22,92067\,66192\,64150\,34816}$^[3].

Euristicamente, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di ${\displaystyle 100}$ cifre contenga almeno un ${\displaystyle 9}$, causandone l'esclusione dalla precedente somma.

Schmelzer e Baillie^[4] trovarono un algoritmo efficiente per il problema dell'omissione di stringhe di cifre. Per esempio, la somma di ${\displaystyle 1/n}$ dove ${\displaystyle n}$ non contiene "42" è all'incirca ${\displaystyle 228,4463}$. Un altro esempio: la somma di ${\displaystyle 1/n}$ dove in ${\displaystyle n}$ non appare la stringa "314159" (le prime cifre del π) è approssimativamente ${\displaystyle 2302582,334}$.

La dimostrazione della convergenza di Kempner^[1] viene riportata in molti manuali, per esempio Hardy e Wright^[5] e Apostol.^[6] Si raggruppano i termini della serie in base al numero di cifre del denominatore. Il numero degli interi di ${\displaystyle n}$ cifre che non contengono il ${\displaystyle 9}$ è uguale a ${\displaystyle 8\cdot 9^{n-1}}$, poiché ci sono ${\displaystyle 8}$ scelte (da 1 a 8) per la prima cifra, e ${\displaystyle 9}$ scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre ${\displaystyle n-1}$. Ognuno di questi numeri senza ${\displaystyle 9}$ è maggiore o uguale di ${\displaystyle 10^{n-1}}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di ${\displaystyle 8(9/10)^{n-1}}$. Pertanto l'intera serie dei reciproci è al massimo

${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}$

Lo stesso ragionamento funziona per ogni cifra omessa diversa da zero. Il numero degli interi di ${\displaystyle n}$ cifre che non contengono lo ${\displaystyle 0}$ è ${\displaystyle 9^{n}}$, quindi la relativa serie di Kempner è al massimo

${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}$

La serie converge anche se vengono omesse delle stringhe di ${\displaystyle k}$ cifre, per esempio togliendo tutti i denominatori che hanno in base ${\displaystyle 10}$ la sottostringa "42". Si può dimostrare nella stessa maniera.^[4] Prima si osserva che si può lavorare con numeri in base ${\displaystyle 10^{k}}$ e togliere tutti i denominatori che hanno tale stringa come "cifra". Il ragionamento analogo al caso della base ${\displaystyle 10}$ mostra che questa serie converge. Ora ritornando alla base decimale, si osserva che la serie non toglie proprio tutti i denominatori che contengono la stringa data, infatti alcune certe configurazioni vengono considerate nella somma. Per essere più precisi, se si raggruppano le cifre in blocchi di ${\displaystyle k}$ cifre a partire da destra, il numero non viene omesso se la data stringa attraversa il confine fra un blocco e un altro. Per esempio, se si vuole omettere "42", la serie in base ${\displaystyle 100}$ toglierà ${\displaystyle 4217}$ e ${\displaystyle 1742}$, ma non ${\displaystyle 1427}$. Dal momento che la serie in base 100 converge ed è più grande di quella omette tutti i "42", allora, per il teorema del confronto, anche quest'ultima converge.

Farhi^[7] considerò serie di Kempner, cioè le somme ${\displaystyle S(d,n)}$ dei reciproci degli interi positivi che hanno esattamente ${\displaystyle n}$ istanze della cifra ${\displaystyle d}$, dove ${\displaystyle 0\leq d\leq 9}$ (quindi la serie originale di Kempner è ${\displaystyle S(9,0)}$). Dimostrò anche che per ogni ${\displaystyle d}$ e con ${\displaystyle n\geq 1}$, la successione dei valori di ${\displaystyle S(d,n)}$ è decrescente e converge a ${\displaystyle 10\ln 10}$. È interessante notare che la successione in generale non è decrescente partendo da ${\displaystyle n=0}$; per esempio, per la serie originale di Kempner si ha

${\displaystyle S(9,0)\approx 22,921<23,026\approx 10\ln 10<S(9,n),}$

con ${\displaystyle n\geq 1}$.

La serie converge molto lentamente. Baillie^[2] osserva che dopo aver sommato ${\displaystyle 10^{27}}$ termini, il resto è ancora maggiore di ${\displaystyle 1}$. Il limite superiore di ${\displaystyle 80}$ è molto grossolano, e Irwin mostrò^[8] da un'analisi delle stime leggermente più accurata che il valore della serie di Kempner è circa ${\displaystyle 23}$, dopo migliorato a ${\displaystyle 22,92067}$.^[9]

Baillie^[2] sviluppò una ricorsione che esprime il contributo di ogni blocco di ${\displaystyle k+1}$ cifre in termini del gruppo di lunghezza ${\displaystyle k}$, per ogni scelta della cifra omessa. Questo permette una stima molto accurata con una piccola quantità di calcolo.

La maggior parte degli autori non dà un nome a questa serie. Il nome "serie di Kempner" viene usato in MathWorld^[10] e nel libro Gamma di Havil sulla costante di Eulero-Mascheroni.^[11]

• Serie armonica
• Lista delle serie matematiche
• Funzione di Kempner

• (EN) Eric W. Weisstein, Serie di Kempner, su MathWorld, Wolfram Research.
• "Summing Curious, Slowly Convergent, Harmonic Subseries". Prestampa dell'articolo di Thomas Schmelzer e Robert Baillie.

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