Regola di Sarrus

In matematica, in particolare in algebra lineare, la regola di Sarrus è un metodo mnemonico per ricordare la formula del determinante di una matrice quadrata ${\displaystyle 3\times 3}$. Prende il nome dal matematico francese Pierre Frederic Sarrus.

La regola di Sarrus non si estende a matrici di ordine maggiore.^[1]

La regola di Sarrus è un caso particolare di questa formula del determinante:

${\displaystyle \det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

Nella formula, ${\displaystyle S_{n}}$ è l'insieme di tutte le permutazioni ${\displaystyle \sigma }$ dell'insieme numerico ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ e ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ denota il segno della permutazione (${\displaystyle +1}$ se ${\displaystyle \sigma }$ è una permutazione pari, ${\displaystyle -1}$ se è dispari).^[2]

In particolare:

• Se ${\displaystyle n=3}$, si ottiene:^[2]

${\displaystyle \det(A):=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}\ }$

Visto più semplicemente: Il determinante

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb,}$

può essere espresso tramite somme e differenze dei prodotti dei termini sulle 6 "diagonali continue" della matrice.^[1]

Ripetendo infatti a destra della matrice le sue prime due colonne

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}}$

i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono rispettivamente ${\displaystyle aei}$, ${\displaystyle bfg}$ e ${\displaystyle cdh}$, mentre i prodotti dei termini sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) sono ${\displaystyle gec}$, ${\displaystyle hfa}$ e ${\displaystyle idb}$. Il determinante della matrice è pari alla differenza tra la somma dei primi tre e quella degli ultimi tre:^[1]

${\displaystyle aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb\,\!}$

Mnemonicamente e computazionalmente può essere utile notare che, utilizzando le prime nove lettere dell'alfabeto, gli elementi sulla diagonale sono vocali mentre tutti gli altri sono consonanti, tale controllo è un'utile riprova, soprattutto quando si utilizza tale regola per costruire un polinomio caratteristico.

• Silvio Greco e Paolo Valabrega, Lezioni di Geometria - Volume I (Algebra Lineare), Libreria Editrice Universitaria Levrotto&Bella - Torino, 1999, ISBN 88-8218-040-9.
• Gioacchino Orecchia e Salvatore Spataro, Algebra delle matrici - Volume I, Milano, Edizioni Tecnos S.r.l., 1980, ISBN 88-85255-07-8.

• Determinante
• Sviluppo di Laplace
• Matrice

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla Regola di Sarrus

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