Numero tetraedrico

Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi n numeri triangolari. L'(n+1)-esimo numero tetraedrico indica il numero di termini che compaiono nello sviluppo della potenza n-esima del quadrinomio: ${\displaystyle (a+b+c+d)^{n}}$.

I primi numeri tetraedrici sono:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024^[1]

Questi numeri rappresentano la successione A000292 dell'OEIS.

La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}}$

I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico).

Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i T_n per i quali ${\displaystyle n\equiv 1\mod 4}$ (vedi aritmetica modulare).

La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie telescopiche.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}}$

Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri.

La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la somma al massimo di cinque numeri tetraedrici.

A.J. Meyl dimostrò nel 1878 che esistono solo tre numeri tetraedrici che sono anche quadrati perfetti:

${\displaystyle T_{1}=1^{2}=1}$

${\displaystyle T_{2}=2^{2}=4}$

${\displaystyle T_{48}=140^{2}=19600}$

L'unico numero tetraedrico che è anche un numero piramidale quadrato è 1 (dimostrato da Beukers nel 1988); 1 è anche l'unico tetraedrico che è un cubo perfetto.

Esistono solo cinque numeri che sono contemporaneamente tetraedrici e triangolari:

${\displaystyle T_{1}=t_{1}=1}$

${\displaystyle T_{3}=t_{4}=10}$

${\displaystyle T_{8}=t_{15}=120}$

${\displaystyle T_{20}=t_{55}=1540}$

${\displaystyle T_{34}=t_{119}=7140}$

(dove T_n rappresenta l'n-esimo numero tetraedrico e t_n rappresenta l'n-esimo numero triangolare)

• Numero triangolare
• Numero pentatopico
• Tetraedro
• Numero figurato

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero tetraedrico, su MathWorld, Wolfram Research.

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