Insieme nullo (teoria della misura)

Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi ${\displaystyle \mu }$-nulli per la data misura ${\displaystyle \mu }$.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio misurabile, sia ${\displaystyle \mu }$ una misura su ${\displaystyle X}$, e sia ${\displaystyle N}$ un insieme misurabile in ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle \mu }$ è una misura positiva, allora ${\displaystyle N}$ è nullo se e solo se ${\displaystyle \mu (N)=0}$. Se ${\displaystyle \mu }$ non è una misura positiva, allora ${\displaystyle N}$ è ${\displaystyle \mu }$-nullo se ${\displaystyle N}$ è ${\displaystyle ||\mu ||}$-nullo, dove ${\displaystyle ||\mu ||}$ è la variazione totale di ${\displaystyle \mu }$; questo è più forte che richiedere ${\displaystyle \mu (N)=0}$.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.

L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi ${\displaystyle \mu }$-nulli di ${\displaystyle X}$ formano un sigma-ideale su ${\displaystyle X}$. Allo stesso modo gli insiemi ${\displaystyle \mu }$-nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.

Per la misura di Lebesgue su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Più in generale, un sottoinsieme ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ è nullo se e solo se:

Dato un qualsiasi numero positivo ${\displaystyle \varepsilon }$, esiste una successione ${\displaystyle \{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ di intervalli tali che ${\displaystyle N}$ è contenuto nell'unione degli ${\displaystyle I_{n}}$ e la lunghezza totale degli ${\displaystyle I_{n}}$ è minore di ${\displaystyle \varepsilon }$.

Questa condizione può essere generalizzata a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio Lp e Spazio di misura.

• Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
• Uno spazio di misura in cui tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.

• Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

• Teoria della misura
• Quasi ovunque
• Quasi certamente

• (EN) null set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme nullo, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica