Filtro a coseno rialzato
Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per sagomare l'impulso dati nei sistemi di modulazione digitale. La sua risposta impulsiva è nulla negli istanti multipli del tempo di simbolo, pertanto appartiene alla famiglia dei filtri di Nyquist, i quali riducono l'interferenza intersimbolica (ISI).
Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro, almeno nella versione più semplice, è una funzione coseno rialzata sopra l'asse delle frequenze (si veda la figura in basso).
Descrizione matematica
Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a , ove è il tempo di simbolo del sistema di comunicazioni.
La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:
e caratterizzata da due parametri: , il fattore di rotolamento (roll-off), e , il tempo di simbolo (reciproco della frequenza di simbolo).
La risposta impulsiva di tale filtro è data da:
in termini della funzione sinc normalizzata.
Fattore di roll-off
Il fattore di roll-off, , rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist . Denotando con l'eccesso di banda, allora:
ove è la frequenza di simbolo.
Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di . Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.
Quando tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:
dove è la funzione rettangolare, e la risposta impulsiva tende al ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-banda ideale.
Quando , la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:
Larghezza di banda
La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:
Applicazioni
Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni (dove è un numero intero), eccetto che per .
Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.
Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco.
Questa condizione richiede il seguente vincolo, in presenza di canale ideale:
cioè:
Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In questo modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.
Infatti, in presenza di canale attivo con risposta impulsiva , si ha:
- con
ed anche con:
con impulso di Nyquist a Coseno Rialzato, quindi:
ed anche:
Nel caso particolare di un sistema P.A.M. binario si ha: , con l'Energia per bit.
Bibliografia
- I. Glover, P. Grant (2004). Digital Communications (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4
- J. Proakis (1995). Digital Communications (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5
Collegamenti esterni
- Articolo tecnico intitolato The care and feeding of digital, pulse-shaping filters, pubblicato da "RF design".