Densità spettrale di energia

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In teoria dei segnali, dato un segnale x(t) e data la sua trasformata di Fourier X(f), si definisce densità spettrale di energia del segnale x(t) la funzione:

${\displaystyle E(f)=\left|X(f)\right|^{2}}$,

che rappresenta la distribuzione dell'energia del segnale alle diverse frequenze.

Per la relazione di Parseval, si ha che ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\|X(f)\|^{2}df=\int _{-\infty }^{+\infty }\|x(t)\|^{2}dt=E_{x}}$, ovvero l'energia del segnale x(t).

Come esempio fisico di un possibile metodo di misura del valore della densità spettrale di energia di un segnale per una determinata frequenza, supponiamo che ${\displaystyle x(t)}$ rappresenti il valore di tensione (in volt) di un impulso elettrico che si propaga su un mezzo trasmissivo terminato con un resistore di valore ${\displaystyle R}$ unitario, e che tutta l'energia del segnale venga dissipata sul resistore, senza riflessioni. La potenza dissipata al tempo ${\displaystyle t}$ è ${\displaystyle x(t)^{2}/R=x(t)^{2}}$, in modo che l'energia totale si calcola integrando ${\displaystyle x(t)^{2}}$ rispetto al tempo per la durata dell'impulso. Per misurare il valore della densità spettrale di energia ${\displaystyle E_{x}(f)}$ alla frequenza ${\displaystyle f}$, si potrebbe inserire prima del resistore un filtro passa banda che trasmetta solo un intervallo limitato di frequenze ${\displaystyle \Delta f}$ vicino alla frequenza di interesse, e quindi misurare l'energia totale ${\displaystyle E(f)}$ dissipata sul resistore. Il valore della densità spettrale di energia alla frequenza ${\displaystyle f}$ viene quindi stimata pari a ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$. In questo esempio, poiché ${\displaystyle x(t)^{2}/R}$ ha le dimensioni di V² Ω⁻¹, l'energia ${\displaystyle E(f)}$ ha quelle di V² s Ω⁻¹ = J, e quindi la stima ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ della densità spettrale di energia alla frequenza ${\displaystyle f}$ ha dimensioni di J Hz⁻¹.

Si ricorda che l'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso. Per un segnale di energia finita ${\displaystyle x(t)}$ l'autocorrelazione è definita come:

${\displaystyle R_{x}(\tau ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ x^{*}(t-\tau )\,dt}$

Ora, dato un segnale di energia finita ${\displaystyle x(t)}$, la sua densità spettrale di energia e l'autocorrelazione del segnale stesso sono legati dalla relazione

${\displaystyle {\mathit {E}}(f)={\mathcal {F}}\{R_{x}(t)\}=\left|X(f)\right|^{2}}$,

ovvero la densità spettrale di energia di un segnale ${\displaystyle x(t)}$ è uguale alla trasformata continua di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

Infatti

${\displaystyle {\mathit {E}}(f)={\mathcal {F}}\{R_{x}(t)\}=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau =}$

${\displaystyle =\int _{\tau =-\infty }^{+\infty }\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot x^{*}(t-\tau )\ dt\cdot e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau =}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\int _{\tau =-\infty }^{+\infty }x^{*}(t-\tau )\ e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau \ dt=}$

ponendo ora ${\displaystyle \tau '=t-\tau }$ nel secondo integrale, si ottiene

${\displaystyle {\mathit {E}}(f)=\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x^{*}(\tau ')\ e^{-j2\pi f(t-\tau ')}\ d\tau '\right]\ dt=}$

${\displaystyle =\int _{t=-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}\left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x^{*}(\tau ')\ e^{j2\pi f\tau '}\ d\tau '\right]\ dt=}$

${\displaystyle =X(f)\cdot \left[\int _{\tau '=-\infty }^{+\infty }x(\tau ')\ e^{-j2\pi f\tau '}\ d\tau '\right]^{*}\ dt=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}}$.

• Segnale di energia
• Densità spettrale di potenza

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