Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion
di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:
- Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
- Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
- Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).
Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.
Definisi
Definisi bikuaternion
adalah
di mana:
adalah elemen-elemen kuaternion
adalah variabel kompleks.
Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.
Contoh:
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3eadeb66f65d498d2d58e0bc3d6ac1550519ba7)
Jika
,
maka
.
Bentuk matriks
Bikuaternion
bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:
.
Contoh: Jika
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3eadeb66f65d498d2d58e0bc3d6ac1550519ba7)
maka
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}(5.0+3.2h)+h(7.1+0.6h)&(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)\\-(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)&(5.0+3.2h)-h(7.1+0.6h)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c183979f91421a6111c19848ec9f6b5f6991103d)
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}5.0+3.2h-0.6+7.1h&4.8+1.9h-2.2+6.7h\\-4.8-1.9h-2.2+6.7h&5.0+3.2h+0.6-7.1h\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e165cc8939efd336c4b82ead6c717026faf781a)
.
Konjugat
Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:
- bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor):
![{\displaystyle q^{*}=w-xi-yj-zk\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698d4ca87c02ea8654ad5a9d025ed4357f08a05d)
- konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion:
.
di mana:
dan ![{\displaystyle x=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c82c5816a1971e37f3358c78ef43309ac5aa91b)
dan ![{\displaystyle y=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7148a76a1b94a8caee3cfcf68b5b3970cd6fda)
dan
.
Selanjutnya:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\\(pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star }\\(q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b632213bc0898bafa1dbd6e6b1117a0b6ccc3546)
Lihat juga
- Kuaternion
- Bilangan kompleks
Pengawasan otoritas ![Sunting ini di Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
---|