A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.
A tétel kimondása
Ha
tartomány,
véges sok izolált pont halmaza
-ben, és
holomorf, akkor minden nullhomológ
ahol még
és
a görbe körülfordulási száma:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }f=\sum \limits _{a\in D_{f}}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {Res} _{a}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19154ed089603119904b8f6d6e4ebdd2c23151f)
A jobb oldal mindig véges, mivel
nullhomológ, tehát
relatív kompakt
-ben, így korlátos.
- Ha a
-beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:
![{\displaystyle \int _{\Gamma }\,f=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc7bc909846ed41105b8dba2d6c42f8b406e60d)
- Ha
holomorf
-ben és
, és
-nak elsőrendű pólusa van
-ben
reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta =\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3af96faae83522f6c0f96c246e548dc77c2bc)
A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál
Ha
meromorf
-ben, és
f nullhelyeinek,
pólusainak halmaza, és
, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f'}{f}}=\sum \limits _{a\in N\cup P}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {ord} _{a}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c14a7015c62181a64998f44d2d803773f96ed9f)
ahol
![{\displaystyle \operatorname {ord} _{a}f:={\begin{cases}k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű nullhelye van }}\\-k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű pólusa van}}\\0,&{\mbox{különben}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fdd0dfcb1391bf1cda353284ef3fc6337195ee)
null-, illetve pólushelyeinek rendje
-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával
.
Alkalmazásai
A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.
Törtracionális függvények
Ha
a
és a
polinomok hányadosa minden
-re, akkor
,
ahol
a felső félsík, és egy elég nagy
-re és
-val és
-val kiegészítve integrálunk a
zárt félkörön, és tekintjük az
határátmenetet.
miatt egy elég nagy
-re és a
-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel
, tehát
és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.
Példa: Legyen
,
első rendű pólussal
-ben. Ekkor
, és így
.
Törtracionális függvények exponenciális függvénnyel
Legyenek
és
polinomok úgy, hogy
, ne legyenek a
polinomnak valós gyökei, és jelölje a felső félsíkban levő gyökeit (pozitív képzetes rész)
. Ekkor minden
esetén
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}\exp(i\alpha x)\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{a_{i}}f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a48cd0653038c16e161522baed3b0351c98c34)
ahol
. Most a
zárt út
-től
-ig megy, majd egy félkörív zárja le az óramutató járásával ellentétes irányban. Most rögzítsünk egy
pozitív valós számot, és a félkört burkoljuk az óramutató járásával ellentétes irányban bejárt
téglalappal. A függőleges szakaszokat felosztjuk úgy, hogy az osztópontokban
, és ezután külön kezeljük a felső és az alsó részt. A jobb egyenes alsó részén
, ami nullához tart; hasonlóan nullához tart a bal egyenes alsó részén. Az
esetben
. Ez azt jelenti, hogy a téglalap teljes felső részén nullához tart, és a fenti állítás igaz.
Példa: Legyen
, ami megfelel az összes fenti követelménynek, mivel gyökei
alakúak. Eszerint:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\exp {2ix}}{(x+i)(x-i)}}\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \operatorname {Res} _{i}f(z)=i\pi \exp {(-2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94182c6b08f2a801a1dcbee379642333701d13fe)
Törtracionális függvény nem egész termmel
Legyenek
és
polinomok, továbbá
, ahol
, és ne legyenek a
polinomnak gyökei
-ben, valamint
-nak nullában. Ekkor:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}{\frac {P(x)}{Q(x)}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin {(\lambda \pi )}}}\sum _{p\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R^{+}} }\operatorname {Res} _{p}(-z)^{\lambda -1}{\frac {P(z)}{Q(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afafb6e058e39fc620dcee1906304f070a3c35a2)
Példa:
, ekkor
, a függvény pólusa van a
helyeken, ezzel a további követelmények is teljesülnek. Ekkor
, tehát
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=-\pi \left({\frac {\sqrt {-i}}{2i}}+{\frac {\sqrt {i}}{-2i}}\right)={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03fac3cb40e1c08d2755900d194ab39cb8c9fc6)
Trigonometrikus függvények
Legyen
két polinom hányadosa, ahol
minden
-re, továbbá
. Ekkor
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }r(\cos t,\sin t)\mathrm {d} t\\=&\int _{0}^{2\pi }r\left({\frac {e^{\mathrm {i} t}+e^{-\mathrm {i} t}}{2}},{\frac {e^{\mathrm {i} t}-e^{-\mathrm {i} t}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} t\\=&\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {1}{\mathrm {i} z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} {z}\\=&2\pi \sum _{a\in \mathbb {E} }\operatorname {Res} _{a}\left({\frac {1}{z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b30dac10d7892f6c9540aa7ee5eb3c49ae8c8c)
ahol
az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.
Példa: Teljesül
,
mivel
-nek elsőrendű pólusa van
-ben, de csak a
-ben levő pólusa fekszik
-ben, és ott
reziduuma
.
Fourier-transzformált
Adva legyen egy
függvény, továbbá az
pontok, ahol
, és
. Ekkor van két
szám, hogy
elég nagy
-re, ekkor minden
-re
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y)e^{\mathrm {i} xy}\mathrm {d} y=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}(f(z)e^{\mathrm {i} xz}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca54adfe43a247e2516a67d153ff511a1c5ab03e)
Ugyanez a forma hasonlóan teljesül
-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.
Bizonyítása
A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.
Legyenek a
körök
középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a
tartományban. Vegyük ezeket a köröket a
lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot
-nek! Az általános Cauchy-tétellel
![{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\operatorname {d} z=\int _{\gamma }f(z)\operatorname {d} z-\sum _{j}n(\gamma ,z_{j})\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196f6d01bb8a4fdf582f9e1ebbc245b48a73682e)
Az
függvény reziduumának integrálos alakja:
![{\displaystyle a_{-1}^{(j)}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c084576ff299d74bfc74f2a4e08754bc46eaa4cc)
Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.
Általánosítása
A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.
Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.
Források
- Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
- A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Residuensatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap