A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.
Alapképletek
Az Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a koordinátákból:[1]
ahol
Következik, hogy a konstans -jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:
a konstans -hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:
Skálázási tényezők
A paraboloid koordináták skálázási tényezői:[2]
így az infinitezimális térfogatelem
Differenciáloperátorok
A differenciáloperátorok kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:
és a Laplace-operátor:
Alkalmazások
A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.
A Helmholtz-egyenlet . Elvégezve a helyettesítést, a leválasztott egyenletek: [3]
ahol és szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a helyettesítéssel a fentiekbe.
A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az és konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.
A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.[4]
Jegyzetek
↑Yoon, LCLY & M, Willatzen (2011), Separable Boundary-Value Problems in Physics, Wiley-VCH, p. 217, ISBN 978-3-527-63492-7
↑Duggen, L; Willatzen, M & Voon, L C Lew Yan (2012), "Laplace boundary-value problem in paraboloidal coordinates", European Journal of Physics33 (3): 689--696, DOI 10.1088/0143-0807/33/3/689
Források
Separable Boundary-Value Problems in Physics. Wiley-VCH (2011). ISBN 978-3-527-41020-0
Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 664. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X
The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 184–185. o. (1956)
Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 180. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961)
Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 119–120. o. (1970)
Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 98. o. (1967)
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 44–48 (Table 1.11). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2
MathWorld
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Paraboloidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.