Köbös spline interpoláció

A köbös spline, az interpoláció egy fajtája, és az a tulajdonsága, hogy az egymást követő pontok harmadfokú polinomokkal vannak összekötve. A magasabb fok és az együtthatók olyan módon görbítik két pont között a polinomot, hogy annak végpontjai simán illeszkednek a szomszédos szakaszokon értelmezett polinomokhoz. Az interpolációs függvény tehát az alábbi alakot veszi fel:

${\displaystyle S(x)=\left\{{\begin{matrix}S_{0}(x),\ x\in [x_{0},x_{1}]\\S_{1}(x),\ x\in [x_{1},x_{2}]\\\cdots \\S_{n-1}(x),\ x\in [x_{n-1},x_{n}]\end{matrix}}\right.}$

A függvénynek pedig rendelkeznie kell az alábbi feltételekkel:

• interpolációs sajátosság, S(x_i)=f(x_i)
• a spline-ok illesztése, S_i-1(x_i) = S_i(x_i), i =1,...,n-1
• első és másodrendű deriváltak folytonossága, S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i) és S''_i-1(x_i) = S''_i(x_i), i =1,...,n -1.

n köbös polinom S-be való belefoglalásába szükség van n+1 feltétel meghatározására. De az S(x_i)=f(x_i) egyenlet n+1 feltételt ad és ezek a feltételek a pontokon belül n+1–2=n–1 pontot eredményeznek, tehát összesen 4n ‒ 2 feltételt.

Ha az elsőrendű deriváltjait az S-nek az x₀ és x_k pontokban elnevezzük u-nak és v-nek, az úgynevezett kapocs spline interpoláció:

${\displaystyle S'(x_{0})=u\,\!}$

${\displaystyle S'(x_{k})=v\,\!}$

Esetleg a másodrendű deriváltakat egyenlővé téve 0-val:

${\displaystyle S''(x_{0})=S''(x_{n})=0\,\!}$.

eredménynek a természetes köbös spline-t kapjuk.

Másik választásnak vehetjük a periodikus köbös spline-t ha

${\displaystyle S(x_{0})=S(x_{n})\,\!}$

${\displaystyle S'(x_{0})=S'(x_{n})\,\!}$

${\displaystyle S''(x_{0})=S''(x_{n})\,\!}$

Vagy a teljes köbös spline-t ha

${\displaystyle S(x_{0})=S(x_{n})\,\!}$

${\displaystyle S'(x_{0})=S'(x_{n})\,\!}$

${\displaystyle S''(x_{0})=f'(x_{0}),\quad S''(x_{n})=f'(x_{n})\,\!}$

• Spline

• Numerikus módszerek. Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc. Kolozsvári Egyetemi Kiadó. 2008