Bipoláris hengerkoordináta-rendszer

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a harmadik, z tengely menti eltolással. Az ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ fókuszegyenesekre teljesül a Descartes-féle koordináta-rendszerben, hogy rendre ${\displaystyle x=-a}$ és ${\displaystyle x=+a}$, illetve ${\displaystyle y=0}$.

Bipolárisnak neveznek olyan görbéket is, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ bipoláris hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

${\displaystyle x=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle z=\ z}$

ahol egy ${\displaystyle P}$ pont ${\displaystyle \sigma }$ koordinátája egyenlő a ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ szöggel, és a ${\displaystyle \tau }$ koordináta a ${\displaystyle P}$ pont fókuszoktól mért távolságainak arányának természetes logaritmusa. A továbbiakban a ${\displaystyle PF_{1}}$ távolságot ${\displaystyle d_{1}}$, míg a ${\displaystyle PF_{2}}$ távolságot ${\displaystyle d_{2}}$ jelöli. Ezzel a ${\displaystyle \tau }$ koordináta:

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

A ${\displaystyle \sigma }$ és ${\displaystyle \tau }$ bipoláris koordináták skálázási tényezője megegyezik:

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}}$

illetve a ${\displaystyle z}$ koordináta skálázási tényezője ${\displaystyle h_{z}=1}$. Így az infinitezimális térfogatelem

${\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását két dimenzióban. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 187–190. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, unknown. o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 
• MathWorld description of bipolar cylindrical coordinates

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bipolar cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.