Anger-függvény

A matematikában az Anger-függvény szorosan kapcsolódik a Bessel-függvényekhez.[1]

Az Anger-függvényt Carl Theodor Anger német matematikusról (1803–1858) nevezték el.

A függvény definíciója:

J ν ( z ) = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( ν θ − z sin ⁡ θ ) d θ {\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }

Weber-függvény

A Weber-függvény definíciója:

E ν ( z ) = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ν θ − z sin ⁡ θ ) d θ {\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }

A függvényt Heinrich Friedrich Weber (1843 -1912), német fizikusról nevezték el. A függvény szoros kapcsolatban van a II. fajú Bessel-függvénnyel. A Weber-függvény Lommel–Weber-függvényként is ismert.

Kapcsolat a Weber-, és az Anger-függvény között

A kapcsolat:

sin ⁡ ( π ν ) J ν ( z ) = cos ⁡ ( π ν ) E ν ( z ) − E − ν ( z ) {\displaystyle \sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)}
− sin ⁡ ( π ν ) E ν ( z ) = cos ⁡ ( π ν ) J ν ( z ) − J − ν ( z ) {\displaystyle -\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)}

Ha ν nem egész, akkor kifejezhetők egymás lineáris kombinációjaként . Ha ν egész, akkor az Anger-függvény Jν, megegyezik a Jν, Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A Weber-, és az Anger-függvények a Bessel-függvények inhomogén formáinak z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = 0 {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0} a megoldásai.

Az Anger-függvény kielégíti a következő egyenletet:

z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = ( z − ν ) sin ⁡ ( π z ) / π {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi }

és a Weber-függvény kielégíti a:

z 2 y ′ ′ + z y ′ + ( z 2 − ν 2 ) y = − ( ( z + ν ) + ( z − ν ) cos ⁡ ( π z ) ) / π . {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z))/\pi .}

egyenletet.

Irodalom

  • Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2011. ISBN 978-963-279-300-9  
  • Lizorkin, P.I: Bessel function. (hely nélkül): Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4  

Kapcsolódó szócikkek

Források

  1. ↑ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Anger_function