Théorème des trois séries de Kolmogorov

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Le théorème des trois séries de Kolmogorov concerne la convergence d'une série dont les termes sont des variables aléatoires indépendantes.

Théorème des trois séries de Kolmogorov — Soit   ( X n ) n 0   {\displaystyle \ \left(X_{n}\right)_{n\geq 0}\ } une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La série   n 0   X n   {\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ X_{n}\ } est presque sûrement convergente si et seulement si il existe un réel   c > 0   {\displaystyle \ c>0\ } tel que les trois conditions suivantes soient remplies simultanément :

  •   n 0   P ( | X n | c ) < + ; {\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {P} \left(|X_{n}|\geq c\right)<+\infty \,;}
  •   n 0   Var ( X n   1 | X n | c ) < + ; {\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ {\text{Var}}\left(X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right)<+\infty \,;}
  •   n 0   E [ X n   1 | X n | c ] converge. {\displaystyle \ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {E} \left[X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right]\quad {\text{converge.}}}

Remarque

En un certain sens, ce résultat possède un analogue en théorie probabiliste des nombres, qui est le théorème d'Erdős-Wintner.

Référence

Sidney I. Resnick, A Probability Path [détail des éditions] Section 7.6, page 226.

Articles connexes

Liens externes

  • Le site officiel en l'honneur d'Andreï Kolmogorov
  • Un site sur son livre fondateur de la théorie moderne des probabilités, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933


  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique