Théorème de Bolzano-Weierstrass
Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass, BWT, TBW et Bolzano.
En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce
Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :
Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d'adhérence.
Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :
Toute partie fermée bornée de est séquentiellement compacte.
Enfin, on peut généraliser le théorème à , ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur .
Démonstration (cas réel)
Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.
La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.
La seconde preuve s'appuie sur une dichotomie[1],[2],[3]. Soit une suite réelle bornée. Soit un minorant et un majorant de . On pose . Notons le milieu de l'intervalle . Tous les termes de sont dans , et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles et . Itérons le processus : posons ou de sorte qu'il y ait une infinité de termes de dans , et posons le milieu de . À nouveau, il y a une infinité de termes de dans ou dans , et on peut continuer infiniment. Les suites et sont adjacentes car est croissante, est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune . On pose , et pour tout , on choisit comme le plus petit entier strictement supérieur à tel que appartienne à , ce qui est possible car une infinité de termes de appartiennent à . Alors, par le théorème des gendarmes, la suite extraite de tend vers .
Généralisation aux ℝ-espaces vectoriels normés de dimension finie
Le théorème s'applique toujours en remplaçant par un -espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans muni du module complexe.
Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un -espace vectoriel normé de dimension finie , assimilé sans perte de généralité à muni d'une norme , et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux -ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans .
Lien avec la compacité
Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.
Cet énoncé peut se décomposer en :
- Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
- Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article « Espace dénombrablement compact ».
- Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article « Valeur d'adhérence ».
- L'énoncé proprement dit, le « si » :
Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.
(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)
Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans X admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.
Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque X est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert de X admet un sous-recouvrement dénombrable . Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point , et la suite n'aurait pas de valeur d'adhérence).
Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le fait que pour tout recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, il existe au moins un nombre de Lebesgue, c'est-à-dire un réel r > 0 tel que toute boule ouverte de X de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Formellement :
- .
Soit alors X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact[4]. Soit un recouvrement ouvert de X et soit r un nombre de Lebesgue pour ce recouvrement. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que . On en déduit alors que la sous-famille finie recouvre X.
Notes et références
- ↑ D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 126-127.
- ↑ F. Denizet, Analyse MPSI, Nathan, (lire en ligne), p. 108.
- ↑ Démonstration de cette version faible du théorème de Bolzano-Weierstrass sur Wikiversité.
- ↑ Pour une variante, voir (en) Jacques Dixmier (trad. du français), General Topology [« Topologie générale »], Springer, (lire en ligne), p. 52.
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
- Espaces métriques compacts, sur Wikiversity
Article connexe
Bibliographie
- Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
- Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995
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