Restriction de Weil

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En géométrie algébrique, la restriction de Weil est un ${\displaystyle S}$-schéma, issu d'un ${\displaystyle S'}$-schéma et d'un morphisme de schémas ${\displaystyle S'\to S}$. On s'intéresse souvent au cas où ${\displaystyle S'\to S}$ est une extension finie ${\displaystyle L/K}$.

La restriction porte le nom d'André Weil.

${\displaystyle {\rm {Sch/S}}^{op}}$ est la catégorie duale de la catégorie des ${\displaystyle S}$-schémas.

Soit ${\displaystyle h:S'\to S}$ un morphisme de schémas. Pour un ${\displaystyle S'}$-schéma ${\displaystyle X}$ considérons le foncteur contravariant

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):{\rm {Sch/S}}^{op}\to {\rm {Set}},\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X).}$

Si le foncteur est représentable, alors le ${\displaystyle S}$-schéma correspondant est appelé la restriction de Weil de ${\displaystyle X}$ par rapport à ${\displaystyle h}$, qui peut aussi être noté par ${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$^[1].

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