Plan de Moore

Ne doit pas être confondu avec les espaces de Moore dont ce plan est un exemple, ni avec les espaces de Moore (en) en topologie algébrique.

En mathématiques, le plan de Moore ou plan de Niemytzki — nommé d'après Robert Lee Moore et Viktor Niemytzki — est un espace topologique utilisé comme contre-exemple^[1]. Il s'agit en fait d'un demi-plan, muni d'une topologie strictement plus fine que la topologie usuelle.

Définition

Sur le demi-plan supérieur Γ = {(p, q) ∈ ℝ² | q ≥ 0}, on définit une topologie par les voisinages, de la manière suivante :

si q > 0, les voisinages de (p, q) dans Γ sont les mêmes que ses voisinages dans ℝ×ℝ⁺ (muni de la topologie produit, induite par la topologie usuelle de ℝ²) ;
une base de voisinages d'un point (p, 0) de l'axe des abscisses est constituée des {(p, 0)}∪D, pour tout disque ouvert D de ℝ×ℝ⁺ tangent en (p, 0) à cet axe, i.e. D de la forme {(x, y) ∈ ℝ² | (x – p)² + (y – r)² < r²} pour n'importe quel réel r > 0.

Propriétés

Le plan de Moore Γ est, par construction, à bases dénombrables de voisinages.
Il n'est pas de Lindelöf. En effet, l'axe des abscisses Γ₀ = ℝ×{0} est un fermé discret non dénombrable.
Par conséquent, Γ n'est pas à base dénombrable ni σ-compact.
Il est séparable : ℚ×ℚ⁺ est dense.
Il n'est donc pas métrisable, puisque le sous-espace Γ₀ n'est pas séparable.
Il n'est pas localement compact^[2] (alors que Γ₀ et son complémentaire le sont clairement).
Il est tout de même complètement régulier.
Il n'est pas normal, puisqu'il est séparable et possède un fermé discret Γ₀ ayant la puissance du continu ou, plus directement, puisque ℚ×{0} et (ℝ\ℚ)×{0} sont deux fermés disjoints non séparés (en) par deux ouverts disjoints.
Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal), ni métacompact (en) (seulement dénombrablement métacompact).

Preuve de la complète régularité^[3]

Il s'agit de montrer que pour tout point M = (p, q) de Γ et tout voisinage V de M, il existe une fonction continue de Γ dans [0, 1] valant 0 au point M et 1 sur le complémentaire de V. Le seul cas délicat est celui où q est nul. Si V = {(p, 0)}∪D avec D comme dans la définition ci-dessus, on peut par exemple définir f sur D par : f(N) = d(M, N)/L, où L est la longueur de la corde de D issue de M et passant par N.

Notes et références

↑ (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), « Example 82: Niemytzki's Tangent Disc Topology »
↑ (en) « Why is the Moore plane not locally compact », sur Math Stack Exchange
↑ (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett, 2012, 2^e éd., 380 p. (ISBN 978-1-4496-6865-5, lire en ligne), p. 172