Mesure produit
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En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés et on définit une mesure produit μ1×μ2 sur l'espace mesurable .
La tribu produit est la tribu sur le produit cartésien engendrée par les parties de la forme , où appartient à et à :
Une mesure produit μ1×μ2 est une mesure sur telle que :
D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ1×μ2 existe, et si μ1 et μ2 sont σ-finies alors elle est unique.
En fait, lorsque μ1 et μ2 sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,
avec Ex = {y∈Ω2|(x,y)∊E} et Ey = {x∈Ω1|(x,y)∊E}, qui sont tous deux des ensembles mesurables.
La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien ℝn peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.
Même lorsque μ1 et μ2 sont complètes, μ1×μ2 ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝ2, il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure » (voir la liste des auteurs).
- (en) Michael E. Taylor (en), Measure Theory and Integration, AMS,
- (en) Michel Loève, Probability Theory, vol. I, New York/Heidelberg/Berlin, Springer, , 4e éd., 425 p. (ISBN 0-387-90210-4), chap. 8.2 (« Product measures and iterated integrals »), p. 135-137
- (en) Paul Halmos, Measure theory, New York/Heidelberg/Berlin, Springer, , 304 p. (ISBN 0-387-90088-8), chap. 35 (« Product measures »), p. 143-145
Articles connexes
- Théorème de désintégration (en)
- Théorème de Fubini
- Portail de l'analyse