Matrice de distance euclidienne
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En mathématiques, une matrice de distance euclidienne est une matrice de taille n × n représentant l'espacement d'un ensemble de points dans un espace euclidien. Si l'on note une matrice de distance euclidienne et des points sont définis dans un espace de dimension , alors les éléments de sont donnés par
où désigne la norme euclidienne sur . Ainsi, la matrice des distances euclidienne sera de la forme :
Propriétés
Pour faire simple, l'élément décrit le carré de la distance entre les ème et ème points de l'ensemble. Par les propriétés de la norme euclidienne, la matrice a les propriétés suivantes :
- Tous les éléments sur la diagonale de sont nuls (l'on parle alors de matrice creuse).
- La trace de est zéro (par la propriété ci-dessus).
- est symétrique (c'est-à-dire que ).
- (par l'inégalité triangulaire)
- Le nombre de valeurs uniques (distinctes) non nulles d'une matrice de distance euclidienne de taille est borné supérieurement par en raison de la symétrie et du fait d'être creuse.
- En dimension m, le rang d'une matrice de distance euclidienne est inférieur ou égal à . Si les points sont en position générale, le rang est exactement min(n, m + 2).
Voir également
- Matrice d'adjacence
- Coplanarité
- Géométrie de distance
- Matrice de distance
- Matrice aléatoire euclidienne
- L'échelle multidimensionnelle classique, une technique de visualisation qui rapproche une matrice de dissimilarité arbitraire par une matrice de distance euclidienne
- Déterminant de Cayley-Menger
Références
- James E. Gentle, Matrix Algebra : Theory, Computations, and Applications in Statistics, Springer-Verlag, , 528 p. (ISBN 978-0-387-70872-0 et 0-387-70872-3, lire en ligne), p. 299
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