Inégalité de Bernoulli
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Bernoulli_inequality.svg/220px-Bernoulli_inequality.svg.png)
En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :
pour tout entier[1] n > 1 et tout réel x non nul supérieur ou égal à −1.
Démonstrations
Par récurrence
Soit un réel . Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n .
- Initialisation : donc la propriété est vraie pour n = 2.
- Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que .
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : . - Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.
Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques
D'après la formule du binôme, si x > 0 ,
et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si : , d'où .
Utilisant la notion de convexité
La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.
Plus précisément, si est strictement convexe dérivable sur un intervalle et un point de , alors : .
Appliquant ceci à qui est bien strictement convexe sur pour car est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant on obtient bien .
Généralisation
Exposant étendu à un réel >1
Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :
La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :
Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et l'on étudie les variations de la fonction f définie sur D = [–1, +∞[ par :
le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.
Les deux premières dérivées de f sur ]–1, +∞[ sont données par :
- ,
donc est nulle en 0 et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur ]–1, 0[ et strictement positive sur ]0, +∞[.
Par conséquent, la fonction f (continue en 0 et −1) est strictement décroissante sur [–1, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.
Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur .
Cas d'un réel strictement compris entre 0 et 1
Pour tout réel et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a cette fois [2]:
La fonction définie par est cette fois strictement concave sur car sur , d'où le changement de sens de l'inégalité.
Utilisations
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png)
L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel q > 1, la limite de la suite géométrique (qn) est égale à +∞.
Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : [2].
Notes et références
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