Groupe ax + b
En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe ainsi défini :
- ses éléments sont les couples de réels avec non nul
- la loi de composition interne est :
Il est alors facile de voir que est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de est .
Ce groupe peut également se représenter comme :
- le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
- le sous-groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :
Fonction modulaire
Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.
Une mesure de Haar à gauche est . Une mesure de Haar à droite est .
Nous obtenons donc une fonction modulaire :
Représentations unitaires irréductibles
Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition , les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :
- les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
- l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur par
et
Références
- Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
- Pierre Eymard et Marianne Terp, « La transformation de Fourier et son inverse sur le groupe des ax+b d'un corps local », dans Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie II, Springer, (DOI 10.1007/BFb0062494), p. 207-248
- (en) I. Gelfand et M. Neumark, « Unitary representations of the group of linear transformations of the straight line », C. R. (Doklady) Acad. Sci URSS (N.S.), vol. 55, , p. 567-570
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