Groupe ax + b

En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe G {\displaystyle G} ainsi défini :

  • ses éléments sont les couples de réels ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} avec a {\displaystyle a} non nul
  • la loi de composition interne est :
( a , b ) ( a ′ , b ′ ) = ( a a ′ , a b ′ + b ) {\displaystyle (a,b)(a',b')=(aa',ab'+b)}

Il est alors facile de voir que ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} est ( 1 / a , − b / a ) {\displaystyle (1/a,-b/a)} .

Ce groupe peut également se représenter comme :

  • le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
  • le sous-groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :
( a b 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}

Fonction modulaire

Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.

Une mesure de Haar à gauche est d g = 1 | a | 2 d a d b {\displaystyle \mathrm {d} g={\frac {1}{|a|^{2}}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b} . Une mesure de Haar à droite est d g = 1 | a | d a d b {\displaystyle \mathrm {d} g={\frac {1}{|a|}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b} .

Nous obtenons donc une fonction modulaire :

Δ ( a , b ) = 1 | a | . {\displaystyle \Delta (a,b)={\frac {1}{|a|}}.}

Représentations unitaires irréductibles

Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition a > 0 {\displaystyle a>0} , les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :

  1. les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
  2. l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur H = L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )} par
( a ⋅ f ) ( x ) = a 1 / 2 f ( a x ) {\displaystyle (a\cdot f)(x)=a^{1/2}f(ax)}

et

( b ⋅ f ) ( x ) = f ( x + b ) {\displaystyle (b\cdot f)(x)=f(x+b)}

Références

  • Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
  • Pierre Eymard et Marianne Terp, « La transformation de Fourier et son inverse sur le groupe des ax+b d'un corps local », dans Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie II, Springer, (DOI 10.1007/BFb0062494), p. 207-248
  • (en) I. Gelfand et M. Neumark, « Unitary representations of the group of linear transformations of the straight line », C. R. (Doklady) Acad. Sci URSS (N.S.), vol. 55,‎ , p. 567-570
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