ce qui donne immédiatement la valeur en z =1/2 : .
Valeurs particulières
On a l'expression pour des arguments demi-entiers positifs :
De plus, la fonction trigamma prend les valeurs particulières suivantes :
où K est la constante de Catalan.
la fonction ψ1 n'a pas de zéro sur l'axe réel , mais il existe une infinité de paires de zéros zn, zn de partie réelle strictement négative . Les parties réelles s'approchent rapidement de −n + 1/2 et les parties imaginaires augmentent lentement en O(ln(n)). Par exemple, z1 = −0,4121345... + 0,5978119... i et z2 = −1,4455692... + 0,6992608... i sont les deux premiers zéros avec Im(z) > 0.
Relation avec la fonction de Clausen
La valeur de la fonction digamma pour des arguments rationnels peut être exprimée en termes de fonctions trigonométriques et logarithmiques par le théorème digamma. Un résultat similaire est obtenu pour la fonction trigamma mais les fonctions circulaires sont remplacées par la fonction de Clausen. À savoir, [1]
Calcul et approximation
Une méthode simple pour approximer la fonction trigamma consiste à prendre la dérivée du développement asymptotique de la fonction digamma.
Formule
La fonction trigamma apparaît dans cette somme :
Voir également
Fonction gamma
Fonction digamma
Fonction polygamma
Constante de Catalan
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trigamma function » (voir la liste des auteurs).
↑Structural properties of polylogarithms, American Mathematical Society, (ISBN978-0821816349)
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)